Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 40^\circ ,\) \(\widehat B = 60^\circ ,\) AB = 6 cm. Hãy tính (làm tròn đến hàng đơn vị):

a) Chiều cao AH và cạnh AC;

b) Độ dài BH và CH.

a) (H.4.5a)

Theo định lí Pythagore, ta có

AC² + AB² = BC²

AC² = BC² – AB²

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{17}^2} - {8^2}} = \sqrt {225} = 15.\)

Từ đó:

• \(\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}},\) \(\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}},\)

• \(\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{15}}{8},\) \(\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{15}}.\)

b) (H.4.5b)

Theo Pythagore, ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{1,2}^2} + {{0,9}^2}} = \sqrt {2,25} = 1,5.\)

Từ đó:

• \(\sin B = \cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = 0,6,\)

• \(\cos B = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = 0,8,\)

\(\tan B = \cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,2}} = 0,75,\)

\(\cot B = \tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1,2}}{{0,9}} = \frac{4}{3}.\)

(H.4.9)

a) Trong tam giác ABC vuông có

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.\)

Theo định lí Pythagore, ta có

BC² = AC² + AB² = 8² + 6² = 100.

\(BC = \sqrt {100} = 10.\)

Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5},\) từ đó suy ra \(\widehat B \approx 53^\circ .\)

b) Trong tam giác vuông ABH có:

\(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\) suy ra \(AH = AB.\sin B = 6.\frac{4}{5} = \frac{{24}}{5};\)

\(\tan B = \frac{{AH}}{{BH}},\) suy ra \(BH = \frac{{AH}}{{\tan B}} = \frac{{24}}{5}:\frac{4}{3} = \frac{{24}}{5}.\frac{3}{4} = \frac{{18}}{5}.\)

\(\cos \widehat {BAH} = \sin \widehat {ABC} = \frac{4}{3}\) (vì \(\widehat {BAH}\) và góc \(\widehat {ABC}\) là hai góc phụ nhau).