Cho mặt phẳng (Q) nhận \[\overrightarrow a  = \left( {4;0;1} \right)\],  \[\overrightarrow b  = \left( {2;1;1} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của (Q).

a) Ta có: \[\overrightarrow {DE}  = \left( {6;0;0} \right),\overrightarrow {DN}  = \left( {0;2;2} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {DN} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&6\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}6&0\\0&2\end{array}} \right|} \right)\] = (0; −12; 12) = −12(0; 1; −1).

Vậy \[\overrightarrow n  = \left( {0;1; - 1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (DEMN).

Phương trình của mặt phẳng (DEMN) là 1(y – 0) – 1(z – 4) = 0 hay y – z + 4 = 0.

b) Ta có B(6; 4; 0) nên d(B,(DEMN)) = \[\frac{{\left| {4 + 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 \].

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm D.

Khi đó, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.A'B'C'D' lần lượt là D(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), C(0; 3; 0), B(2; 3; 0), D'(0; 0; 2), A'(2; 0; 2), B'(2; 3; 2), C'(0; 3; 2).

Mặt phẳng (BA'C') có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {BA'}  = \left( {0; - 3;2} \right)\], \[\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;0;2} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BA'} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&2\\0&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\2&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right)\] = (−6; −4; −6) = −2(3; 2; 3).

Do đó, \[\overrightarrow n \] = (3; 2; 3). Phương trình mặt phẳng (BA'C') là:

3(x – 2) + 2(y – 3) + 3z = 0 hay 3x + 2y + 3z – 12 = 0.

Khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C') là:

d(B', (BA'C')) = \[\frac{{\left| {3.2 + 2.3 + 3.2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}\].