Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 1. Phương trình mặt phẳng có đáp án

Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] là:

\[\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 2;4} \right)\].

Do đó, (Q) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( { - 1; - 2;4} \right)\].

a) Phương trình mặt phẳng (P) đó là: 3(x – 1) + 1(y – 2) + (−2)(z – 3) = 0 hay

3x + y – 2z + 1 = 0.

b) Ta có: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\4&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\3&0\end{array}} \right|} \right)\] = (4; −1; −3).

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \[\overrightarrow n = \left( {4; - 1; - 3} \right)\].

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x + 2) – 1(y – 3) – 3(z – 0) = 0 hay 4x – y – 3z + 11 = 0.

c) Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( {4;1;0} \right)\], \[\overrightarrow {AC} = \left( {1;2;0} \right)\].

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&4\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&2\end{array}} \right|} \right)\] = (0; 0; 7) = 7(0; 0; 1).

Do đó, \[\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) là: z – 2 = 0.

d) (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm M(3; 0; 0), N(0; 1; 0), P(0; 0; 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1\] hay 2x + 6y + 3z – 6 = 0.

Các mặt phẳng (P), (Q), (R) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là

\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;3;6} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2; - 2} \right) = 2\left( {1;1; - 1} \right) = 2\overrightarrow {{n_1}} \] và 99 ≠ 2.3 nên (P) ∥ (Q).

          \[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_3}} = 1.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).6 = 0\] nên (P) ⊥ (R).

Vậy (P) ∥ (Q), (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R).

a) d(A, (P)) = \[\frac{{\left| {3.1 + 2.0 + 4.3 + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {4^2}} }}\] = 5.

b) d(A, (Q)) = \[\frac{{\left| {2.1 + 2.0 + 3.0 - 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {0^2}} }}\] = 4.

c) d(A, (R)) = \[\frac{{\left| {2.1 + 2.2 + 3.1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }}\] = 2.

a) Xét hai mặt phẳng (P): 2x + y + 2z + 12 = 0, (Q): 4x + 2y + 4z – 6 = 0, ta có:

\[\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \ne \frac{{12}}{{ - 6}}\] nên (P) ∥ (Q).

b) Trên mặt phẳng (Q) lấy M(0; 1; 1) ∈ (Q).

Ta có: P((P), (Q)) = d(M, (P)) = \[\frac{{\left| {2.0 + 1.1 + 2.1 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{15}}{3}\]= 5.

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm D.

Khi đó, tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.A'B'C'D' lần lượt là D(0; 0; 0),

A(2; 0; 0), C(0; 3; 0), B(2; 3; 0), D'(0; 0; 2), A'(2; 0; 2), B'(2; 3; 2), C'(0; 3; 2).

Mặt phẳng (BA'C') có cặp vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {BA'}  = \left( {0; - 3;2} \right)\], \[\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;0;2} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BA'} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&2\\0&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\2&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\{ - 2}&0\end{array}} \right|} \right)\] = (−6; −4; −6) = −2(3; 2; 3).

Do đó, \[\overrightarrow n \] = (3; 2; 3). Phương trình mặt phẳng (BA'C') là:

3(x – 2) + 2(y – 3) + 3z = 0 hay 3x + 2y + 3z – 12 = 0.

Khoảng cách từ đỉnh B' đến mặt phẳng (BA'C') là:

d(B', (BA'C')) = \[\frac{{\left| {3.2 + 2.3 + 3.2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}\].