Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2}\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\] và trục hoành như hình vẽ sau:

Đáp án đúng là: A

Gắn hệ trục tọa độ sao cho \[AB\] trùng \[Ox\], \[A\] trùng \[O\] khi đó parabol có đỉnh \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình của parabol có dạng \[y = a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\]

Vì parabol có đỉnh là \[G\left( {2;4} \right)\] và đi qua điểm O(0; 0) nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0.\end{array} \right.\]

Suy ra phương trình parabol là \[y = f\left( x \right) = - {x^2} + 4x.\]

Diện tích của cả cổng là \[S = \int\limits_0^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|} _0^4 = \frac{{32}}{3}\] (m³).

Mặt khác, ta có chiều cao \[CF = DE = f\left( {0,9} \right) = 2,79\] (m);

\[CD = 4 - 2.0,9 = 2,2\] (m).

Diện tích hai cánh cổng là \[{S_{CDEF}} = CD.CF = 2,79.2,2 = 6,138\] (m²).

Diện tích phần trang trí hoa là: \[{S_{tt}} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 6,138 = \frac{{6793}}{{1500}}\] (m²).

Vậy tổng số tiền để làm cổng là: \[6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}.900000 = 11441400\] (đồng).

Đáp án đúng là: C

Gắn phần miệng li đựng nước vào hệ trục tọa độ, với đỉnh trùng với gốc tọa độ.

Lúc này, ta được parabol đi qua các điểm (0; 0), (−4; 10); (4; 10).

Gọi phương trình parabol là: \[y = a{x^2} + bx + c\] \[\left( {a \ne 0} \right)\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\16a - 4b + c = 10\\16a + 4b + c = 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = \frac{5}{8}\\b = 0\end{array} \right.\].

Vậy \[y = \frac{5}{8}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{8}{5}y \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{8}{5}y} \]

Thể tích tối đa mà cốc có thể chứa nước là

\[V = \pi {\int\limits_0^{10} {\left( {\sqrt {\frac{8}{5}} y} \right)} ^2}dy = \pi \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{8}{5}y} \right)dy = \left. {\pi \frac{4}{5}{y^2}} \right|_0^{10}} = 80\pi \approx 251,33\] cm³.