Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 5\). Khi đó \(\int\limits_0^2 {3f\left( x \right)dx} \) bằng    

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(f'\left( x \right) = 2 + 3\sin x\).

b) \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {2x - 3\cos x} \right)dx} = {x^2} - 3\sin x + C\).

c) Có \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + C\) mà \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 3 \Leftrightarrow C = 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

Vậy \(F\left( x \right) = {x^2} - 3\sin x + 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}\).

d) Vì \(f\left( x \right) = 2x - 3\cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(k\left( x \right).{e^x}\)nên

\(f'\left( x \right) = {\left( {2x - 3\cos x} \right)^\prime } = k\left( x \right).{e^x}\)\( \Leftrightarrow 2 + 3\sin x = k\left( x \right).{e^x}\)\( \Leftrightarrow k\left( x \right) = \frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}\).

Suy ra \(k'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2 + 3\sin x}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \frac{{3\cos x - 2 - 3\sin x}}{{{e^x}}}\).

Do đó \(k'\left( x \right).{e^x} = 3\cos x - 2 - 3\sin x\).

Suy ra \(\int {k'\left( x \right).{e^x}dx} = \int {\left( {3\cos x - 2 - 3\sin x} \right)} dx = 3\sin x - 2x + 3\cos x + C\).

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 3\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 3 \le x \le - 1\\2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\; - 1 < x \le 1\\ - 2x + 4\;\;{\rm{khi}}\;1 < x \le 3\end{array} \right.\).

a) \({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

b) Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \( - 2x + 4 < 0\) nên \({S_2} = \int\limits_2^3 {\left| { - 2x + 4} \right|dx} = \left| {\int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \right| = 1\).

c) Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 3} \right)dx + \int\limits_{ - 1}^1 {2dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} } \).

d) \({S_H} = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = {S_1} + {S_2} = {S_1} - \int\limits_2^3 {\left( { - 2x + 4} \right)dx} \).