(2,5 điểm) Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC.\) Từ \(B\) vẽ đường kính \(BD\) của \(\left( O \right)\), đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) (\(E\) khác \[D\]).

a) Chứng minh rằng \(OA \bot BC\) tại \(H\).

b) Chứng minh rằng \(OA \bot BC\) tại \(H\).

c) Cho biết \(OA = \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R\), tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OC,\,\,OD\) và cung nhỏ \(CD\).

Gọi \(x,y\) (ngày) lần lượt là số ngày đội \(A\) và đội \(B\) làm một mình để hoàn thành công việc \[\left( {x,y > 0} \right)\].

Trong một ngày đội \(A\) làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, đội \(B\) làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Trong một ngày, hai đội làm chung được số phần công việc là: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc).

Trong 8 ngày, số phần công việc hai đội làm được là: \(8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc).

Sau 8 ngày, phần công việc còn lại là: \(1 - 8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\) (công việc).

Theo đề bài, khi làm một mình đội \(B\)tăng gấp đôi năng suất. Lúc này, trong 1 ngày, đội \(B\) làm được: \(2.\frac{1}{y} = \frac{2}{y}\) (công việc).

Trong 8 ngày tiếp theo, đội \(B\) đã hoàn thành phần việc còn lại, nên ta có phương trình:

\(1 - 8\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 8.\frac{2}{y}\) hay $\frac{8}{x}+\frac{24}{y}=1\left(1\right)$

Mà ban đầu hai đội dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày khi làm chung. Do đó, ta có phương trình:

\(12\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1\) hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(2\right)$

Từ \(\left( 1 \right)\) và \[\left( 2 \right)\], ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\\frac{8}{x} + \frac{{24}}{y} = 1\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{y}\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được:

\(8\left( {\frac{1}{{12}} - \frac{1}{y}} \right) + \frac{{24}}{y} = 1\) hay \(\frac{2}{3} + \frac{{16}}{y} = 1\) suy ra \(\frac{{16}}{y} = \frac{1}{3}\) khi \(y = 48\) (TMĐK).

Thay \(y = 48\) vào phương trình \[\left( 2 \right)\] suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{48}} = \frac{1}{{16}}\), suy ra \(x = 16\) (TMĐK).

Vậy đội \(A\) làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \(16\) ngày, đội \(B\) làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong \(48\)ngày.

a) Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông \(ABC\), có:

\(AC = AB.\tan \widehat {CBA} = 48.\tan 80^\circ \approx 272,22{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Do người đó có tầm mắt \[1,65{\rm{ m}}\] nên chiều cao của tòa nhà là:

\[272,22 - 1,65 = 270,57{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy tòa nhà Lotte Center cao \[270,57{\rm{ m}}\].

b) Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở \[E\] đến chân tòa nhà là độ dài đoạn \[EA\].

Xét tam giác vuông \[EAD\], ta có:

\[EA = \frac{{AD}}{{\tan \widehat {DEA}}} = \frac{{200}}{{\tan 65^\circ }} \approx 93,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Khoảng cách của hai xe phế thải là: \[93,26 - 48 = 45,26{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\]

Vậy hai xe phế thải cách nhau \[45,26{\rm{ m}}\].