Bác An có mảnh vườn hình vuông \[ABCD\] có cạnh bằng \[4{\rm{ m}}\]. Ở bốn góc vườn, bác An muốn trồng hoa vào các phần đất hình tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ góc vườn \[A\] đến vị trí \[E\] sao cho tứ giác \[EFGH\] có chu vi nhỏ nhất.

Đặt \[AE = x\,\,\left( {\rm{m}} \right){\rm{ }}\left( {0 < x < 4} \right)\]. Khi đó, \[EB = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]           

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

\[AE = BH = GC = DF = x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\] và \[BE = CH = GD = AF = 4 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[AEF\] vuông tại \(A\), có:

\[A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}\]

\[{x^2} + {\left( {4 - x} \right)^2} = E{F^2}\]

\[2{x^2} - 8x + 16 = E{F^2}\]

Suy ra \[EF = \sqrt {2{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên \[FG = GH = HE = EF = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Suy ra, chu vi \[EFGH\] là: \[EF + FG + GH + HE = 4EF = 4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Để chu vi của tứ giác \[EFGH\] nhỏ nhất thì \[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] nhỏ nhất.

Với mọi \[0 < x < 4,\] ta có:

\[2{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\]

\[2{\left( {x - 2} \right)^2} + 8 \ge 8\]

\[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge \sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 4\sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \ge 8\sqrt 2 \].

Do đó, chu vi của tứ giác \[EFGH\] nhỏ nhất bằng \[8\sqrt 2 {\rm{ m}}\] khi \[x - 2 = 0\] hay \[x = 2{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]

Vậy khoảng cách từ \[A\] đến \[E\] bằng \[2{\rm{ m}}\] thì tứ giác \[EFGH\] có chu vi nhỏ nhất.