Câu hỏi:

19/12/2024 6,166

Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14 m Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn (như hình vẽ). Biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: B

Gọi x là độ dài c

ạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn (0 < x < 14).

Khi đó, độ dài cạnh của hình chữ nhật không nằm dọc trên đường tròn là: \[2\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\](m).

Diện tích hình chữ nhật là S = 2x\[\sqrt {{{14}^2} - {x^2}} {\rm{ }}\](m2).

Ta có: S2 = 4x2(196 – x2) = −4x4 + 4x2.196 – 1962 + 1962 = −(2x2 – 196)2 + 1962

Nhận thấy –(2x2 – 196)2 ≤ 0, do đó –(2x2 – 196)2 + 1962 ≤ 1962.

Suy ra S2 ≤ 1962, do đó S ≤ \[\sqrt {{{196}^2}} \] hay S ≤ 196 m2.

Dấu “=” xảy ra khi –(2x2 – 196)2 = 0 hay x = \[7\sqrt 2 \] (m).

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi đó là 196 m2.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x là giá mà cửa hàng phải bán để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất (x > 0, triệu đồng).

Theo đề, số tiền mà của hàng sẽ giảm là 22 – x (triệu đồng) mỗi chiếc.

Khi đó, số lượng máy tính tăng lên là: 50(22 – x) : 0,2 = 250(22 – x) chiếc.

Do đó, số lượng máy tính mà doanh nghiệp bán được là:

500 + 250(22 – x) = 6000 – 250x (chiếc)

Doanh thu mà cửa hàng sẽ đạt được là: (6000 – 250x)x (triệu đồng).

Tiền mà cửa hàng bỏ ra để nhập máy tính sẽ là:

18(6000 – 250x) = 108000 – 4500x (triệu đồng)

Lợi nhuận mà cửa hàng thu được sau khi bán giá mới là:

(6000 – 250x)x – 108000 + 4500x = −250x2 + 10500x – 108000 (triệu đồng).

Ta có: −250x2 + 10500x – 108000 = −250(x – 21)2 + 2250 ≤ 2250.

Dấu “=” xảy ra khi −250(x – 21)2 = 0 suy ra x – 21 = 0 khi x = 21.

Vậy cửa hàng bán với giá 21 triệu đồng thì doanh thu nhận được là lớn nhất.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi độ dài của đoạn AE = x (0 < x < 4) (m) suy ra độ dài của đoạn

EB = 4 – x (m).

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

AE = BH = GC = DF = x (m) và BE = CH = GD = AF = 4 – x (m).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEF vuông tại A, ta có:

AE2 + AF2 = EF2

2x2 – 8x + 16 = EF2

Suy ra EF = \[\sqrt {2{x^2} - 8x + 16} {\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).

Do các phần hình tam giác có diện tích bằng nhau nên ta có:

FG = GH = HE = EF = \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).

Suy ra, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] nhỏ nhất.

Với mọi 0 < x < 4, ta có:

2(x – 2)2 ≥ 0

2(x – 2)2 + 8 ≥ 8

\[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[\sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[4\sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[8\sqrt 2 \].

Do đó, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng \[8\sqrt 2 \] (m) khi x – 2 = 0 hay x = 2 (m).

Vậy khoảng cách từ A đến E bằng 2 m thì tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP