Cho bất phương trình \(\frac{{x - 85}}{{15}} + \frac{{x - 74}}{{13}} + \frac{{x - 67}}{{11}} \le 6\). Biết rằng bất phương trình có dạng x ≤ a. Hỏi căn bậc hai số học của a là?

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{x + 6}}{{1999}} + \frac{{x + 8}}{{1997}} \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + \frac{{x + 12}}{{1993}}\)

Suy ra \(\frac{{x + 6}}{{1999}} + 1 + \frac{{x + 8}}{{1997}} + 1 \ge \frac{{x + 10}}{{1995}} + 1 + \frac{{x + 12}}{{1993}} + 1\)

\(\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} \ge \frac{{x + 2005}}{{1995}} + \frac{{x + 2005}}{{1993}}\)

\(\frac{{x + 2005}}{{1999}} + \frac{{x + 2005}}{{1997}} - \frac{{x + 2005}}{{1995}} - \frac{{x + 2005}}{{1993}} \ge 0\)

(x + 2005) \(\left( {\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}} \right)\) ≥ 0

Nhận thấy \(\frac{1}{{1999}} + \frac{1}{{1997}} - \frac{1}{{1995}} - \frac{1}{{1993}}\) < 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì x + 2005 ≤ 0 hay x ≤ −2005.

Do đó, nghiệm nguyên của bất phương trình là x ≤ −2005.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là −2005.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} > - 4\)

Nên \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + \frac{{1907 - x}}{{93}} + \frac{{1905 - x}}{{95}} + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 4 > 0\)

Ta có: \(\frac{{1909 - x}}{{91}} + 1 + \frac{{1907 - x}}{{93}} + 1 + \frac{{1905 - x}}{{95}} + 1 + \frac{{1903 - x}}{{97}} + 1 > 0\)

\(\frac{{2000 - x}}{{91}} + \frac{{2000 - x}}{{93}} + \frac{{2000 - x}}{{95}} + \frac{{2000 - x}}{{97}} > 0\)

(2000 – x) \(\left( {\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}} \right) > 0\)

Nhận thấy \(\frac{1}{{91}} + \frac{1}{{93}} + \frac{1}{{95}} + \frac{1}{{97}}\) > 0 nên để thỏa mãn bất phương trình thì

2000 – x > 0 hay x < 2000.

Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 2000.

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1999.