Cho biểu thức \(A = \frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với x > 0. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{A}{B}\).

Hướng dẫn giải

Với x > 0, ta có:

\(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\)

\(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{2x + \sqrt x - 4 - x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\).

Ta có: \(P = \frac{A}{B}\)

Suy ra P = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\): \(\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\) = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\).\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).

Vậy với x > 0 thì P = \(\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\).