Câu hỏi:

16/01/2025 856

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow z $.

$Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Đặt $\overrightarrow {AB} (ảnh 1)$

a) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z $.

b) $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow x + \overrightarrow z $.

c) Góc giữa vectơ $\overrightarrow {BA'} $ và vectơ $\overrightarrow {A'C'} $ bằng $60^\circ $.

d) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, độ dài vectơ $\overrightarrow {A'M} $ bằng $\frac{{3a}}{2}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 45 bài tập Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \overrightarrow z $.

Theo quy tắc 3 điểm ta có $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow x - \overrightarrow z $.

Vì hình lập phương có cạnh bằng $a$ nên $A'B = A'C' = C'B = a\sqrt 2 $, do đó tam giác $A'BC'$ đều, nên \[\widehat {BA'C'} = 60^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA'} ,\,\overrightarrow {A'C'} } \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \].

Dễ thấy $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AM \Rightarrow $tam giác $AA'M$ vuông tại $A$.

Có $\left| {\overrightarrow {A'M} } \right| = A'M = \sqrt {A{{A'}^2} + A{M^2}} = \sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2} + B{M^2}} $$ = \sqrt {{a^2} + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị tính bằng mét). Bạn Huyền quan sát và phát hiện một con chim đang bay với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A\left( {20;40;30} \right)$ đến điểm $B\left( {40;50;50} \right)$ trong vòng 4 phút. Nếu con chim bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 2 phút con chim ở vị trí $C\left( {a;b;c} \right)$. Tổng $a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Vì hướng bay và vận tốc bay của con chim không đổi nên hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} $ cùng hướng.

Mặt khác do thời gian bay từ $A$ đến $B$ gấp đôi thời gian bay từ $B$ đến $C$ nên $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {BC} $

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40 - 20 = 2\left( {a - 40} \right)}\\{50 - 40 = 2\left( {b - 50} \right)}\\{50 - 30 = 2\left( {c - 50} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 50}\\{b = 55}\\{c = 60}\end{array} \Rightarrow a + b + c = 165} \right.} \right.$.

Đáp án: $165$.

Câu 2

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 ,$ chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng

$Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt 2 ,$ chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. (ảnh 1)$

A. $\frac{{2a}}{3}.$

B. $\frac{{2a}}{{\sqrt {17} }}.$

C. $\frac{{4a}}{{\sqrt {17} }}.$

D. $\frac{{4a}}{3}.$

Lời giải

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ và $ABCD$ là hình vuông.

Suy ra $OA = OB = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = a.$

Dựa vào hình vẽ, ta có $C\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;a;0} \right),A\left( { - a;0;0} \right),S\left( {0;0;2a} \right).$

Suy ra $\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;2a} \right),\overrightarrow {BS} = \left( {0; - a;2a} \right).$

Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có một cặp vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;0;2} \right)$ và $\vec v = \left( {0; - 1;2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\2&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2; - 1} \right).$

Suy ra mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ có phương trình là $2x - 2y - z + 2a = 0.$

Vậy $d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot a - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2a} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{4a}}{3}.$ Chọn D.

Câu 3

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\]. Xét các vectơ \[\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\], \[\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\].

a) \[\overrightarrow u \] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \].

b) \[\overrightarrow n \] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\].

c) \[\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}\].

d) Góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] xấp xỉ bằng \[63^\circ \].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A\left( {1;1;2} \right)$ và $B\left( { - 4;3; - 2} \right)$ là:

A. $\frac{{x + 4}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$.

B. $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}$.

C. $\frac{{x + 1}}{{ - 5}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}$.

D. $\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x + 24}}{3} = \frac{{y - 25}}{4} = \frac{z}{{ - 5}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 26}}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},\,{\Delta _2}$ bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $K\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)$ nhận $\vec u = \left( {1;0;1} \right)$, $\vec v = \left( {1;1;0} \right)$ là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là

A. $x + y + z - 3 = 0$.

B. $x - y + z - 1 = 0$.

C. $x + y - z - 1 = 0$.

D. $ - x + y + z - 1 = 0$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

$Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O$ là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng? (ảnh 1)$

A. $\overrightarrow {AO} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).$

B. $\overrightarrow {AO} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).$

C. $\overrightarrow {AO} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).$

D. $\overrightarrow {AO} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right).$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( { - 4;3; - 2} \right)\) là:

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(K\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\), \(\vec v = \left( {1;1;0} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

$Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng? (ảnh 1)$

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( { - 4;3; - 2} \right)\) là:

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(K\left( {1;\,\,1;\,\,1} \right)\) nhận \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\), \(\vec v = \left( {1;1;0} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

$Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng? (ảnh 1)$