Cho tứ diện đều \(ABCD\) có các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {CM}  \cdot \overrightarrow {AN} .\)

 

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 ,\) chiều cao bằng \(2a\) và \(O\) là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ bên, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng

Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị tính bằng mét). Bạn Huyền quan sát và phát hiện một con chim đang bay với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \(A\left( {20;40;30} \right)\) đến điểm \(B\left( {40;50;50} \right)\) trong vòng 4 phút. Nếu con chim bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 2 phút con chim ở vị trí \(C\left( {a;b;c} \right)\). Tổng \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian \[Oxyz\], cho đường thẳng \[\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\] và mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0\]. Xét các vectơ \[\overrightarrow u  = \left( {2;1; - 2} \right)\], \[\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 1} \right)\].

a) \[\overrightarrow u \] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \].

b) \[\overrightarrow n \] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\].

c) \[\cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9}\].

d) Góc giữa đường thẳng \[\Delta \] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] xấp xỉ bằng \[63^\circ \].

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( { - 4;3; - 2} \right)\) là: