Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;1;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\), \(D\left( { - 2;1; - 1} \right)\).

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(x - 2y - 2z + 2 = 0\).

b) Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

c) Độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng 3.

d) Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right),\left( {BCD} \right)\) có phương trình tổng quát là \(x - y + 2z + 1 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 1;1} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {0;1;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) nên có phương trình là \(x - 2\left( {y - 1} \right) - 2z = 0\) hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 1} \right)\), \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 1; - 4; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 1; - 4; - 1} \right)\) nên có phương trình là \( - \left( {x - 1} \right) - 4y - z = 0\) hay \(x + 4y + z - 1 = 0\).

Thay tọa độ điểm \(B\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) ta có \(0 + 4 \cdot 1 + 0 - 1 = 3 \ne 0\).

Do đó điểm \(B\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

Độ dài đường cao của hình chóp \(A.BCD\) bằng \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{3}{3} = 1\).

Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\left( {ACD} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1; - 4; - 1} \right)\)nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( { - 6;3; - 6} \right).\)

Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right),\left( {BCD} \right)\) có phương trình là:

\( - 6\left( {x - 1} \right) + 3y - 6z = 0\) hay \(2x - y + 2z - 2 = 0\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Sai,                   d) Sai.