Cần rào ba cạnh để cùng với bờ tường có sẵn tạo thành mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 200 m² (tham khảo hình vẽ). Kí hiệu \(x\;\left( {\rm{m}} \right)\), \[y\;\left( {\rm{m}} \right)\] lần lượt là độ dài các cạnh của mảnh vườn vuông góc và song song với bờ tường; \(L\;\left( {\rm{m}} \right)\) là tổng độ dài lưới thép cần để rào mảnh vườn. Biết rằng mỗi mét lưới thép dùng để rào mảnh vườn có đơn giá 250 nghìn đồng.

a) \(y\) được tính theo \(x\) bằng công thức \(y = \frac{{200}}{x}\).

b) \(L\) được tính theo \(x\) theo công thức \(L = 2x + \frac{{100}}{x}\).

c) \(L\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 10\;\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Số tiền tối thiểu để mua lưới thép rào mảnh vườn là 2,5 triệu đồng.

Do \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(MA = MB\) nên \(M\) thuộc giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\), trong đó \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1;1} \right)\) có phương trình là

\(\left( {y - 1} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + z = 0\).

Gọi \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right) \in d\). Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y + z = 0\\x + 2y - z - 1 = 0\end{array} \right.\).

Đặt \(z = t\). Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - t\\z = t\end{array} \right.\).

Suy ra phương trình tham số của \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - t\\z = t\end{array} \right.\). Mà \(M \in d\)\( \Rightarrow M\left( {1 + 3t; - t;t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {3t - 1; - t - 2;t} \right),\overrightarrow {BM} = \left( {3t - 1; - t;t + 2} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BM} } \right) = \frac{{{{\left( {3t - 1} \right)}^2} + 2\left( {{t^2} + 2t} \right)}}{{{{\left( {3t - 1} \right)}^2} + {t^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{11{t^2} - 2t + 1}}{{11{t^2} - 2t + 5}} = 1 - \frac{4}{{11{t^2} - 2t + 5}} = 1 - \frac{4}{{11{{\left( {t - \frac{1}{{11}}} \right)}^2} + \frac{{54}}{{11}}}}\).

Suy ra \(\widehat {AMB}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{{11}}\).

Do đó \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\)\( \Rightarrow S = a + b + c = \frac{{14}}{{11}} \approx 1,27\).

Đáp án: \(1,27\).

Để dân số nước ta vượt 120 triệu người thì: \[98\,\,564\,\,407 \cdot {{\rm{e}}^{0,0093t}} > 120\,\,000\,\,000\]

\[ \Leftrightarrow t > \frac{1}{{0,0093}}\ln \frac{{120\,\,000\,\,000}}{{98\,\,564\,\,407}} \approx 21,16\]nên \[t > 21,16\].

Vậy kể từ năm 2043 trở đi dân số nước ta vượt 120 triệu người.

Đáp án: \(2043\).