Cho hai cấp số cộng (u_n) và (v_n) có tổng của n số hạng đầu tiên lần lượt là S_n,T_n. Biết \[\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{T}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4n + 1}}}}{{{\rm{6n + 2}}}}\] với mọi \[{\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]. Tính\(\)\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{17}}}}}}{{{{\rm{v}}_{{\rm{17}}}}}}\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_6} = 8}\\{u_2^2 + u_4^2 = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d = 8(1)}}}\\{{{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ = 16(2)}}}\end{array}} \right.\)

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 8}} - {\rm{5d}}\]thế vào (2) ta được

\[{\left( {8 - 5d + d} \right)^2} + {\left( {8 - 5d + 3d} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {8 - 4d} \right)^2} + {\left( {8 - 2d} \right)^2} = 16\]

\( \Leftrightarrow 64 - 64d + 16{d^2} + 64 - 32d + 4{d^2} = 16 \Leftrightarrow 20{d^2} - 96d + 112 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{d = \frac{{14}}{5}}\end{array}} \right.\)

Vì công sai không lớn hơn 2 nên d = 2

Đáp án cần chọn là: B

Xét đáp án A. Ta có: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = 19}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{5 = 19n + 19}} - {\rm{5 = 19n + 14}}\]

Xét hiệu:  \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{19n + 14}}} \right) - \left( {{\rm{19n}} - {\rm{5}}} \right){\rm{ = 19n + 14}} - {\rm{19n + 5 = 19}}\]

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = 19 .

Xét đáp án B. Ta có:

\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{1}}}{\rm{ + 10}}{\rm{.1 = 9; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + 10}}{\rm{.2 = 21 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ + 10}}{\rm{.3 = 29 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 8}}\]Vậy dãy số không là cấp số cộng.

Xét đáp án C. Ta có:

\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1 + 1 = 3; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2 + 1 = 7 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 3 + 1 = 13 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 6}}\]

Vậy dãy số không là cấp số cộng.

Xét đáp án D. Ta có:

\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{1}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 = 3; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 = 17 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 14; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 = 55 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 38}}\]

Vậy dãy số không là cấp số cộng.

Đáp án cần chọn là: A