Cho hai đường thẳng \(y = 4x + m + 2\) và \(y = - 2x - 6 - 3m\) với \(m\) là tham số. Tìm giá trị của \(m\) để hai đồ thị của hàm số trên cắt nhau tại một điểm của trục tung.

Đáp án đúng là: a) Đ     b) S         c) Đ         d) Đ

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}\).

b) Xét \(\Delta DCN\) có \(BM\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}\).

c) Có \(D\) là trung điểm của \(BC\) (do \(AD\) là trung tuyến của tam giác) nên \(DB = DC\).

Do đó, \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1\) nên \(DM = DN\).

Suy ra \(GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD\).

Lại có \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = 2GD\).

Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1\).

Do đó, \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\).

d) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}\).

Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}} = \frac{{AM + AN}}{{AG}} = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}\)

\( = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2.\frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3\).

Vậy \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3\).

a) Nhận thấy hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) có hệ số \(2 \ne - 1\) nên chúng cắt nhau.

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

\(2x - 1 = - x + 2\) suy ra \(3x = 3\) nên \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) vào đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), ta có \(y = 1.\)

Vậy ta có giao điểm \(I\left( {1;1} \right)\).

b) Gọi phương trình đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) là: \(y = ax + b\)

Theo đề, đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) song song với \(y = \frac{1}{2}x + 9\) nên có hệ số \(a = \frac{1}{2}\).

Vì \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua \(I\) nên ta có \(1 = \frac{1}{2}.1 + b\) suy ra \(b = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {{d_3}} \right):y = \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}.\)