Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) và điểm \(C\) nằm trên đường tròn này sao cho \(\widehat {CAB} = 60^\circ .\)

Xét phương trình \(2{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m - 6 = 0\)

Ta có \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( {2m - 6} \right)\)

 \( = {m^2} + 2m + 1 - 16m + 48\)

 \( = {m^2} - 14m + 49\)

 \( = {\left( {m - 7} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\).

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\).

Vì \(\Delta = {\left( {m - 7} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\) nên ta có phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm là: \(x = \frac{{m - 3}}{2};\,\,x = 2.\)

Trường hợp 1: \({x_1} = \frac{{m - 3}}{2};\,\,\,\,{x_2} = 2.\)

Mà \({x_1} < {x_2}\) nên \(\frac{{m - 3}}{2} < 2\) hay \(m < 7\).

Theo bài, \(2\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6\)

\(2\left| {\frac{{m - 3}}{2}} \right| - \left| 2 \right| = 6\)

\(\left| {m - 3} \right| = 8\)

\(m - 3 = 8\) hoặc \(m - 3 = - 8\)

\(m = 11\) (không thỏa mãn) hoặc \(m = - 5\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: \({x_1} = 2;\,\,\,\,{x_2} = \frac{{m - 3}}{2}.\)

Mà \({x_1} < {x_2}\) nên \(2 < \frac{{m - 3}}{2}\) hay \(m > 7\).

Theo bài, \(2\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = 6\)

\(2 \cdot \left| 2 \right| - \left| {\frac{{m - 3}}{2}} \right| = 6\)

\(4 - \frac{{\left| {m - 3} \right|}}{2} = 6\)

\(\left| {m - 3} \right| = - 4\) (vô lí vì \(\left| {m - 3} \right| \ge 0).\)

Vậy \(m = - 5\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Giả sử điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, \(AM > MB.\)

Gọi độ dài của \(AM = x\) \(({\rm{cm}})\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\) suy ra \(MB = 10 - x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng \(AB\) thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn \(AB\) bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{AM}}\) hay \(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\).

Giải phương trình:

\(\frac{x}{{10}} = \frac{{10 - x}}{x}\)

\({x^2} = 10\left( {10 - x} \right)\)

\({x^2} = 100 - 10x\)

\({x^2} + 10x - 100 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \({x_1} = - 5 - 5\sqrt 5 ;\)\({x_2} = - 5 + 5\sqrt 5 .\)

Ta thấy chỉ có giá trị \({x_2} = - 5 + 5\sqrt 5 \) thỏa mãn điều kiện.

Vậy \(AM = - 5 + 5\sqrt 5 {\rm{\;(cm)}}{\rm{,}}\) tỉ số cần tìm là \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{ - 5 + 5\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\)