Câu hỏi:
11/03/2025 243
Câu 8-10: (3,0 điểm)
Cho điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Qua \[M\] kẻ tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) với \(\left( O \right)\,\,(A,\,\,B\) là các tiếp điểm).
1) Chứng minh \[OM\] vuông góc với \[AB\] tại \[K.\]
Câu 8-10: (3,0 điểm)
Cho điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Qua \[M\] kẻ tiếp tuyến \(MA,\,\,MB\) với \(\left( O \right)\,\,(A,\,\,B\) là các tiếp điểm).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![1) Chứng minh \[OM\] vuông góc với \[AB\] tại \[K.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/21-1741698379.png)
Vì \[MA,{\rm{ }}MB\] là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)
Do \(A,\,\,B \in \left( O \right)\) nên \(OA = OB,\) do đó điểm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB.\)
Suy ra \[OM\] là đường trung trực của \(AB\) nên \(MO \bot AB\) tại \[K.\]Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Vẽ đường kính \[AE\] của đường tròn \(\left( O \right),\,\,ME\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \[F.\] Gọi \[G\] là trung điểm của \[EF.\] Đường thẳng \[OG\] cắt đường thẳng \[AB\] tại \[H.\] Chứng minh \(OK \cdot OM = OG \cdot OH.\)
Lời giải của GV VietJack
Xét \(\Delta OEF\) cân tại \(O\) (do \(OE = OF)\) nên đường trung tuyến \(OG\) đồng thời là đường cao của tam giác, suy ra \(OG \bot FE\) tại \[G.\]
Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta KOH\) có: \(\widehat {OGM} = \widehat {OKH} = 90^\circ \) và \(\widehat {O\,}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OG}}{{KO}} = \frac{{OM}}{{OH}}\) hay \(OG \cdot OH = OM \cdot OK.\)
Câu 3:
3) Chứng minh \(\frac{1}{{B{E^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}}.\)
Lời giải của GV VietJack
Xét \(\Delta OKA\) và \(\Delta OAM\) có: \(\widehat {OKA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOM}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}\) hay \(O{A^2} = OK \cdot OM.\)
Mà \(OA = OE\) và \(OG \cdot OH = OM \cdot OK\) nên \(O{E^2} = OG \cdot OH.\) Suy ra \(\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}.\)
Xét \(\Delta OGE\) và \(\Delta OEH\) có: \(\widehat {O\,}\) là góc chung và \(\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}\)
Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {OGE} = 90^\circ .\)
Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABE} = 90^\circ .\)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AEH\) có: \(\widehat {ABE} = \widehat {AEH} = 90^\circ \) và \(\widehat {A\,}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{BE}}{{EH}}\) nên \(BE = \frac{{AE \cdot EH}}{{AH}}.\)
Ta có: \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{A{E^2} \cdot E{H^2}}}\) mà \(A{H^2} = A{E^2} + H{E^2}\) (định lý Pythagore trong \(\Delta AHE\) vuông tại \(E)\)
Suy ra \(\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{E^2} + H{E^2}}}{{A{E^2} \cdot H{E^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}\)
\( = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{4{R^2}}}\) (do \(AE = 2R\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)).\)
Do đó \(\frac{1}{{B{E^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}}.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Giải bất phương trình:
\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3} \right) < 2{x^2} - 4\left( {2 - x} \right)\)
\(2{x^2} + 3x - 2x - 3 < 2{x^2} - 8 + 4x\)
\(2{x^2} + 3x - 2x - 2{x^2} - 4x < - 8 + 3\)
\( - 3x < - 5\)
\(x > \frac{5}{3}.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x > \frac{5}{3}.\)
Lời giải
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước