Câu 8-10: (3,0 điểm)

Cho điểm \[M\] nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$. Qua \[M\] kẻ tiếp tuyến $MA,\,\,MB$ với $\left( O \right)\,\,(A,\,\,B$ là các tiếp điểm).

1) Chứng minh \[OM\] vuông góc với \[AB\] tại \[K.\]

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TH&THCS Hồ Tùng Mậu_Phòng GD&ĐT Quỳnh Lưu_Tỉnh Nghệ An !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$1) Chứng minh \[OM\] vuông góc với \[AB\] tại \[K.\] (ảnh 1)$

Vì \[MA,{\rm{ }}MB\] là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

Do $A,\,\,B \in \left( O \right)$ nên $OA = OB,$ do đó điểm $O$ nằm trên đường trung trực của $AB.$

Suy ra \[OM\] là đường trung trực của $AB$ nên $MO \bot AB$ tại \[K.\]

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Vẽ đường kính \[AE\] của đường tròn $\left( O \right),\,\,ME$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là \[F.\] Gọi \[G\] là trung điểm của \[EF.\] Đường thẳng \[OG\] cắt đường thẳng \[AB\] tại \[H.\] Chứng minh $OK \cdot OM = OG \cdot OH.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Xét $\Delta OEF$ cân tại $O$ (do $OE = OF)$ nên đường trung tuyến $OG$ đồng thời là đường cao của tam giác, suy ra $OG \bot FE$ tại \[G.\]

Xét $\Delta GOM$ và $\Delta KOH$ có: $\widehat {OGM} = \widehat {OKH} = 90^\circ $ và $\widehat {O\,}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OG}}{{KO}} = \frac{{OM}}{{OH}}$ hay $OG \cdot OH = OM \cdot OK.$

Câu 3:

3) Chứng minh $\frac{1}{{B{E^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}}.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Xét $\Delta OKA$ và $\Delta OAM$ có: $\widehat {OKA} = \widehat {OAM} = 90^\circ $ và $\widehat {AOM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}$ hay $O{A^2} = OK \cdot OM.$

Mà $OA = OE$ và $OG \cdot OH = OM \cdot OK$ nên $O{E^2} = OG \cdot OH.$ Suy ra $\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}.$

Xét $\Delta OGE$ và $\Delta OEH$ có: $\widehat {O\,}$ là góc chung và $\frac{{OG}}{{OE}} = \frac{{OE}}{{OH}}$

Do đó (c.g.c). Suy ra $\widehat {OEH} = \widehat {OGE} = 90^\circ .$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ABE}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABE} = 90^\circ .$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AEH$ có: $\widehat {ABE} = \widehat {AEH} = 90^\circ $ và $\widehat {A\,}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{BE}}{{EH}}$ nên $BE = \frac{{AE \cdot EH}}{{AH}}.$

Ta có: $\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{A{E^2} \cdot E{H^2}}}$ mà $A{H^2} = A{E^2} + H{E^2}$ (định lý Pythagore trong $\Delta AHE$ vuông tại $E)$

Suy ra $\frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{{A{E^2} + H{E^2}}}{{A{E^2} \cdot H{E^2}}} = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}$

$ = \frac{1}{{H{E^2}}} + \frac{1}{{4{R^2}}}$ (do $AE = 2R$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)).$

Do đó $\frac{1}{{B{E^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{4{R^2}}}.$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »