Câu hỏi:

11/03/2025 723

Câu 10-12: ( 3 điểm)

Cho đường tròn tâm $\left( {O;R} \right)$, đường kính $PQ.$ Gọi $D$ là trung điểm của đoạn $OQ.$ Từ $D$ kẻ dây $AB$ của đường tròn $\left( O \right)$ vuông góc với đường kính $PQ.$ Lấy $M$ là một điểm bất kì trên cung nhỏ $AP,$ dây $MQ$ cắt dây $AB$ tại $I.$

a) Chứng minh bốn điểm $D,\,\,I,\,\,M,\,\,P$ cùng nằm trên một đường tròn.

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 4 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Huyện Chương Mỹ_TP. Hà Nội !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$a) Chứng minh bốn điểm $D,\,\,I,\,\,M,\,\,P$ cùng nằm trên một đường tròn. (ảnh 1)$

a) Vì $AB \bot PQ$ tại $D$ nên $\Delta IPD$ vuông tại $D,$ suy ra ba điểm $P,\,\,D,\,\,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính \[PI.\] (1)

Xét đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có $\widehat {PMQ}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {PMQ} = 90^\circ $ hay $\widehat {PMI} = 90^\circ .$

Suy ra $\Delta MIP$ vuông tại $M,$ suy ra ba điểm $P,\,\,M,\,\,I$ cùng thuộc đường tròn đường kính \[PI.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $P,\,\,M,\,\,I,\,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PI.$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

b) Chứng minh: $QI \cdot QM = Q{B^2}$ và tính $\widehat {APB}.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Chứng minh $QI \cdot QM = Q{B^2}.$

Cách 1: Xét $\Delta QDI$ và $\Delta QMP$ có: $\widehat {QDI} = \widehat {QMP} = 90^\circ $ và $\widehat {MQP}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{QI}}{{QP}} = \frac{{QD}}{{QM}}$ nên $QI \cdot QM = QD \cdot QP.\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Tương tự, ta chứng minh được (g.g). Từ đó suy ra: $QD \cdot QP = Q{B^2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $QI \cdot QM = Q{B^2}.$

Cách 2: Xét $\Delta OAB$ cân tại $O$ (do $OA = OB)$ nên đường cao $OD$ đồng thời là đường phân giác của tam giác, suy ra $\widehat {AOQ} = \widehat {BOQ}.$

Mà $\widehat {AOQ},\,\,\widehat {BOQ}$ lần lượt là góc ở tâm chắn cung $AQ,\,\,BQ$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên

Lại có $\widehat {QBA},\,\,\widehat {QMB}$ lần lượt là góc nội tiếp chắn cung $AQ,\,\,BQ$ nên $\widehat {QBA} = \widehat {QMB}$ hay $\widehat {QBI} = \widehat {QMB}.$

Xét $\Delta QBI$ và $\Delta QMB$ có: $\widehat {MQB}$ là góc chung và $\widehat {QBI} = \widehat {QMB}.$

Do đó (g.g). Suy ra: $\frac{{QI}}{{QB}} = \frac{{QB}}{{QM}}$ hay $QI \cdot QM = Q{B^2}.$

⦁ Tính $\widehat {APB}.$

Xét $\Delta OAD$ vuông tại $D$ có $OD = \frac{1}{2}OQ = \frac{1}{2}R$ (do $D$ là trung điểm của $OQ).$

Ta có $\cos \widehat {AOD} = \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AOD} = 60^\circ .$

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $ (do $OD$ là phân giác của $\widehat {AOB}).$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {APB},\,\,\widehat {AOB}$ lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung $AB$ nên $\widehat {APB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ .$

Câu 3:

c) Gọi $C$ là điểm nằm trên dây $MB$ sao cho $MA = MC$. Xác định vị trí của điểm $M$ trên cung nhỏ $AP$ để tổng $S = MP + MA$ có giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Vì $\Delta OAB$ cân tại $O$ có đường cao $OD$ đồng thời là đường trung tuyến nên $D$ là trung điểm của $AB.$

Xét $\Delta APB$ có $PD$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác nên $\Delta APB$ cân tại $P.$ Mà $\widehat {APB} = 60^\circ $ nên $\Delta APB$ là tam giác đều.

Suy ra $AP = AB$ và $\widehat {ABP} = 60^\circ .$

Tứ giác $ABPM$ nội tiếp nên $\widehat {AMP} + \widehat {ABP} = 180^\circ $ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Suy ra \[\widehat {AMP} = 180^\circ - \widehat {ABP} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]

Xét $\Delta AMP$ có: $\widehat {AMP} + \widehat {APM} + \widehat {MAP} = 180^\circ $ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {MAP} = 180^\circ - \widehat {AMP} - \widehat {APM} = 180^\circ - 120^\circ - \widehat {APM} = 60^\circ - \widehat {APM}.\] (1)

⦁ Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {AMB} = \widehat {APB} = 60^\circ $ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB).$

Xét $\Delta AMC$ có $MA = MC$ và $\widehat {AMC} = 60^\circ $ nên $\Delta AMC$ là tam giác đều.

Suy ra $AM = AC$ và $\widehat {ACM} = 60^\circ .$

Mà $\widehat {ACB} + \widehat {ACM} = 180^\circ $ (kề bù) nên $\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ACM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .$

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ $ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {CAB} = 180^\circ - \widehat {ACB} - \widehat {ABC} = 180^\circ - 120^\circ - \widehat {ABC} = 60^\circ - \widehat {ABC}.$ (2)

⦁ Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {APM} = \widehat {ABM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AM).$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {MAP} = \widehat {CAB}.$

⦁ Xét $\Delta AMP$ và $\Delta ACB$ có: $AM = AC,$ $\widehat {MAP} = \widehat {CAB}$ và $AP = AB$

Do đó $\Delta AMP = \Delta ACB$ (c.g.c). Suy ra $MP = CB$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $MA = MC$ nên $S = MP + MA = CB + MC = MB.$

Do $MB$ là dây cung nên $MB$ có giá trị lớn nhất khi $MB$ là đường kính của $\left( {O;R} \right).$

Vậy $M$ trên cung nhỏ $AP$ sao cho $MB$ là đường kính của $\left( {O;R} \right)$ thì tổng $S = MP + MA$ có giá trị lớn nhất.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

1) Nhân dịp Tết nguyên đán Ất Tỵ, gia đình bạn Minh có sử dụng dịch vụ taxi của hãng VinFast (Xanh SM) để đi du xuân. Bảng giá cước taxi tại Hà Nội như sau:

Giá mở cửa (Giá km đầu tiên) Giá từ km thứ 2 đến 25 Giá từ km thứ 26 trở đi

20 000 đ 15 500 đ 12 500 đ

Số tiền gia đình phải trả cho dịch vụ Taxi là 504 500 đồng. Hỏi quãng đường di chuyển của gia đình bạn Minh là bao nhiêu km?

Xem đáp án

Lời giải

Số tiền phải trả cho dịch vụ Taxi khi đi hết quãng đường 25 km đầu tiên là:

\[20\,\,000 + \left( {25 - 1} \right) \cdot 15\,\,500 = 392\,\,000\] (đồng).

Vì số tiền gia đình bạn Minh phải trả lớn hơn 392 000 đồng nên quãng đường di chuyển của gia đình lớn hơn 25 km.

Số tiền gia đình bạn Minh phải trả khi di chuyển từ km thứ 26 trở đi là:

\[504\,\,500 - 392\,\,000 = 112\,\,500\] (đồng).

Số km thứ 26 trở đi là: $112\,\,500:12\,\,500 = 9$ (km).

Vậy quãng đường đi chuyển của gia đình bạn Minh là: $25 + 9 = 34$ (km).

Câu 2

1) Trong đợt thi đua thu gom kế hoạch nhỏ do Liên đội phát động dịp tết Ất Tỵ 2025, số vỏ lon các lớp khối 9 của một trường THCS được biểu diễn trên biểu đồ:

a) Tính tổng số vỏ lon khối 9 đã thu gom được.

b) Tính tỉ số phần trăm số vỏ lon thu gom được của lớp 9B so với số vỏ lon thu gom được của cả khối 9 (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem đáp án

Lời giải

a) Tổng số vỏ lon khối 9 đã thu gom được là:

$274 + 280 + 370 + 516 = 1\,\,440$ (vỏ lon).

b) Tỉ số phần trăm số vỏ lon thu gom được của lớp 9B so với số vỏ lon thu gom được của cả khối 9 là: $\frac{{280 \cdot 100}}{{1440}}\% \approx 19,44\% $.

Câu 3