Câu 1-3 (2,0 điểm)

Cho biểu thức: $A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2 \sqrt{x} - 24}{x - 9}$ với $x \geq 0, x \neq 9 .$

1) Tính $A$ khi $x = 25.$

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.$

Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{7}{{13}}.$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Chứng minh $B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$ = \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$ = \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Vậy với $x \ge 0,\,\,x \ne 9$ thì \[B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Câu 3:

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A \cdot B.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có: $P = AB = \frac{7}{{\sqrt x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.$

Với $x \ge 0,\,\,x \ne 9,$ ta có: $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 3 \ge 3$ nên $\frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}$ hay $P \le \frac{7}{3}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$ (thỏa mãn).

Vậy biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{7}{3}$ khi $x = 0.$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(0,5 điểm) Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là $x{\rm{\;(m)}}$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là $x{\rm{\;(m)}}.$

Gọi $a{\rm{\;(m)}}$ là chiều dài của hầm biogas $\left( {a > 0} \right).$

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra $a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của hầm biogas là: ${S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: ${S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: ${S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của $x$ để biểu thức ${S_{tp}}$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: ${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}$ ta được:

${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2{x^2} = \frac{{54}}{x},$ hay $x = 3$ (thỏa mãn). Khi đó $a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng $3{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Câu 2