Câu hỏi:

11/03/2025 215

Câu 4 - 5 (2,0 điểm)

1) Hai người thợ quét sơn một tòa nhà. Nếu họ cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc. Tuy nhiên thực tế hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Trong một ngày, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được $\frac{1}{{12}}$ công việc. Khi đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)$

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được $4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}$ (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được $14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}$ (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: $\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1$ hay $\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (2) suy ra $y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21$ (thỏa mãn).

Thay $y = 21$ vào phương trình (1), ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},$ suy ra $\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}$ nên $x = 28$ (thỏa mãn).

Vậy nếu làm riêng, để làm xong công việc thì người thứ nhất làm trong $28$ ngày và người thứ hai làm trong $21$ ngày.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Cho phương trình bậc hai ${x^2} - 3x + 2m = 0$. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình trên có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5$.

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Xét phương trình ${x^2} - 3x + 2m = 0$ có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 2m = 9 - 8m.$

Để phương trình trên có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thì $\Delta > 0,$ tức là $9 - 8m > 0$ hay $m < \frac{9}{8}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = 2m.\end{array} \right.$

Theo bài, $x_1^2 + x_2^2 = 5$

$x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 5$

${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 5$

${3^2} - 2 \cdot 2m = 5$

$9 - 4m = 5$

$4m = 4$

$m = 1$ (thỏa mãn $m < \frac{9}{8}).$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(0,5 điểm) Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là $x{\rm{\;(m)}}$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là $x{\rm{\;(m)}}.$

Gọi $a{\rm{\;(m)}}$ là chiều dài của hầm biogas $\left( {a > 0} \right).$

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra $a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của hầm biogas là: ${S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: ${S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: ${S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của $x$ để biểu thức ${S_{tp}}$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: ${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}$ ta được:

${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2{x^2} = \frac{{54}}{x},$ hay $x = 3$ (thỏa mãn). Khi đó $a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng $3{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Câu 2