Câu 1-3 (2,0 điểm) 

Cho biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{7}{\sqrt{\mathrm{x}}+8}$ và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}}-3}+\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}-24}{\mathrm{x}-9}$ với $\mathrm{x}\ge 0,\mathrm{x}\ne 9.$

1) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là \(x{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là \(x{\rm{\;(m)}}.\)

Gọi \(a{\rm{\;(m)}}\) là chiều dài của hầm biogas \(\left( {a > 0} \right).\)

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\)  nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra \(a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của hầm biogas là: \({S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: \({S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: \({S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \({S_{tp}}\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}\) ta được:

\({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2{x^2} = \frac{{54}}{x},\) hay \(x = 3\) (thỏa mãn). Khi đó \(a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng \(3{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Trong một ngày, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc), người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{12}}\) công việc. Khi đó, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được \(4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\) (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được \(14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}\) (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: \(\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1\) hay \(\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) suy ra \(y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 21\) vào phương trình (1), ta được:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},\) suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}\) nên \(x = 28\) (thỏa mãn).