Câu 1-3 (2,0 điểm) 

Cho biểu thức: $\mathrm{A}=\frac{7}{\sqrt{\mathrm{x}}+8}$ và $\mathrm{B}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}}-3}+\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}-24}{\mathrm{x}-9}$ với $\mathrm{x}\ge 0,\mathrm{x}\ne 9.$

1) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có:

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

 \( = \frac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)\( = \frac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)

 \[ = \frac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9\) thì \[B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\]

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(P = AB = \frac{7}{{\sqrt x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9,\) ta có: \(\sqrt x \ge 0,\) suy ra \(\sqrt x + 3 \ge 3\) nên \(\frac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{7}{3}\) hay \(P \le \frac{7}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{7}{3}\) khi \(x = 0.\)