Câu 8-10 (3,5 điểm) Cho \(\left( {O;\,\,R} \right),\) đường thẳng \(d\) cố định nằm ngoài \(\left( O \right).\) Từ điểm \(M\) tùy ý thuộc đường thẳng \(d,\) kẻ tiếp tuyến \(MP,\,\,MQ\) tới \(\left( O \right).\) Đường thẳng vuông góc với \(OQ\) tại \(O\) cắt \(MP\) tại \(N.\)

1) Chứng minh bốn điểm \(M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là \(x{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là \(x{\rm{\;(m)}}.\)

Gọi \(a{\rm{\;(m)}}\) là chiều dài của hầm biogas \(\left( {a > 0} \right).\)

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\)  nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra \(a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của hầm biogas là: \({S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: \({S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: \({S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \({S_{tp}}\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}\) ta được:

\({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2{x^2} = \frac{{54}}{x},\) hay \(x = 3\) (thỏa mãn). Khi đó \(a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng \(3{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\(A = \frac{7}{{\sqrt {25} + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}.\)

Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = \frac{7}{{13}}.\)