Câu hỏi:
12/03/2025 281
Câu 8-10 (3,5 điểm) Cho \(\left( {O;\,\,R} \right),\) đường thẳng \(d\) cố định nằm ngoài \(\left( O \right).\) Từ điểm \(M\) tùy ý thuộc đường thẳng \(d,\) kẻ tiếp tuyến \(MP,\,\,MQ\) tới \(\left( O \right).\) Đường thẳng vuông góc với \(OQ\) tại \(O\) cắt \(MP\) tại \(N.\)
1) Chứng minh bốn điểm \(M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn.
Câu 8-10 (3,5 điểm) Cho \(\left( {O;\,\,R} \right),\) đường thẳng \(d\) cố định nằm ngoài \(\left( O \right).\) Từ điểm \(M\) tùy ý thuộc đường thẳng \(d,\) kẻ tiếp tuyến \(MP,\,\,MQ\) tới \(\left( O \right).\) Đường thẳng vuông góc với \(OQ\) tại \(O\) cắt \(MP\) tại \(N.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \(MP,\,\,MQ\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P,\,\,Q\) nên \(OP \bot MP,\,\,OQ \bot MQ.\)
Do \[\Delta OMP\] vuông tại \(P\) nên ba điểm \(O,\,\,M,\,\,P\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)
Do \(\Delta OMQ\) vuông tại \(Q\) nên ba điểm \(O,\,\,M,\,\,Q\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)Do đó 4 điểm \(M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Kẻ \(OH \bot d\) tại \(H,\) dây \(PQ\) cắt \(OH,\,\,OM\) lần lượt tại \(I\) và \(K.\) Chứng minh \(ON = MN\) và \(IO \cdot OH = OK \cdot OM.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Vì \(MP,\,\,MQ\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {PMQ}.\) Suy ra \(\widehat {PMO} = \widehat {OMQ}.\)
Xét \(\Delta OMQ\) vuông tại \(Q\) ta có \(\widehat {OMQ} + \widehat {MOQ} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).
Mà \[\widehat {NOM} + \widehat {MOQ} = \widehat {NOQ} = 90^\circ \] (do \(ON \bot OQ)\) nên \(\widehat {NOM} = \widehat {OMQ} = \widehat {PMO}.\)
Xét \(\Delta NOM\) có \(\widehat {NOM} = \widehat {NMO}\) nên \(\Delta NOM\) cân tại \(N,\) suy ra \(ON = OM.\)
⦁ Vì \(MP,\,\,MQ\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MP = MQ,\) suy ra điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của \(PQ.\)
Vì \(OP = OQ\) nên điểm \(O\) cũng nằm trên đường trung trực của \(PQ.\)
Do đó \(OM\) là đường trung trực của \(PQ\) nên \(OM \bot PQ\) tại \(K.\)
Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OMH\) có: \(\widehat {OKI} = \widehat {OHM} = 90^\circ \) và \(\widehat {HOM}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}\) nên \(IO \cdot OH = OK \cdot OM.\)
Câu 3:
3) Chứng minh \(PQ\) luôn đi qua điểm cố định khi \(M\) di động trên \(d.\)
Lời giải của GV VietJack
Xét \(\Delta OPK\) và \(\Delta OMP\) có: \(\widehat {OKP} = \widehat {OPM} = 90^\circ \) và \(\widehat {POM}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OP}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OP}}\) nên \(O{P^2} = OK \cdot OM.\)
Mà \(IO \cdot OH = OK \cdot OM\) (câu 2) nên \(O{P^2} = IO \cdot OH.\) Suy ra \(OI = \frac{{O{P^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}.\)
Vì đường tròn \(\left( O \right)\) và đường thẳng \(d\) cố định nên \(OH\) cố định. Như vậy, điểm \(I\) nằm trên \(OH\) cố định với \(OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}\) không đổi là một điểm cố định.
Mà \(PQ\) đi qua điểm \(I\) nên khi điểm \(M\) di động trên đường thẳng \(d\) thì \(PQ\) luôn đi qua điểm \(I\) cố định.
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
(0,5 điểm) Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\) để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm).
(0,5 điểm) Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\) để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm).
Xem đáp án »
12/03/2025
508
Câu 2:
1) Hai người thợ quét sơn một tòa nhà. Nếu họ cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc. Tuy nhiên thực tế hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Xem đáp án »
11/03/2025
165
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận