Câu hỏi:

12/03/2025 387

Câu 8-10 (3,5 điểm) Cho $\left( {O;\,\,R} \right),$ đường thẳng $d$ cố định nằm ngoài $\left( O \right).$ Từ điểm $M$ tùy ý thuộc đường thẳng $d,$ kẻ tiếp tuyến $MP,\,\,MQ$ tới $\left( O \right).$ Đường thẳng vuông góc với $OQ$ tại $O$ cắt $MP$ tại $N.$

1) Chứng minh bốn điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$1) Chứng minh bốn điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)$

Vì $MP,\,\,MQ$ lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $P,\,\,Q$ nên $OP \bot MP,\,\,OQ \bot MQ.$

Do \[\Delta OMP\] vuông tại $P$ nên ba điểm $O,\,\,M,\,\,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Do $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ nên ba điểm $O,\,\,M,\,\,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Do đó 4 điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Kẻ $OH \bot d$ tại $H,$ dây $PQ$ cắt $OH,\,\,OM$ lần lượt tại $I$ và $K.$ Chứng minh $ON = MN$ và $IO \cdot OH = OK \cdot OM.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Vì $MP,\,\,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MO$ là tia phân giác của $\widehat {PMQ}.$ Suy ra $\widehat {PMO} = \widehat {OMQ}.$

Xét $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ ta có $\widehat {OMQ} + \widehat {MOQ} = 90^\circ $ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Mà \[\widehat {NOM} + \widehat {MOQ} = \widehat {NOQ} = 90^\circ \] (do $ON \bot OQ)$ nên $\widehat {NOM} = \widehat {OMQ} = \widehat {PMO}.$

Xét $\Delta NOM$ có $\widehat {NOM} = \widehat {NMO}$ nên $\Delta NOM$ cân tại $N,$ suy ra $ON = OM.$

⦁ Vì $MP,\,\,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MP = MQ,$ suy ra điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Vì $OP = OQ$ nên điểm $O$ cũng nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Do đó $OM$ là đường trung trực của $PQ$ nên $OM \bot PQ$ tại $K.$

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OMH$ có: $\widehat {OKI} = \widehat {OHM} = 90^\circ $ và $\widehat {HOM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}$ nên $IO \cdot OH = OK \cdot OM.$

Câu 3:

3) Chứng minh $PQ$ luôn đi qua điểm cố định khi $M$ di động trên $d.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Xét $\Delta OPK$ và $\Delta OMP$ có: $\widehat {OKP} = \widehat {OPM} = 90^\circ $ và $\widehat {POM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OP}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OP}}$ nên $O{P^2} = OK \cdot OM.$

Mà $IO \cdot OH = OK \cdot OM$ (câu 2) nên $O{P^2} = IO \cdot OH.$ Suy ra $OI = \frac{{O{P^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}.$

Vì đường tròn $\left( O \right)$ và đường thẳng $d$ cố định nên $OH$ cố định. Như vậy, điểm $I$ nằm trên $OH$ cố định với $OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}$ không đổi là một điểm cố định.

Mà $PQ$ đi qua điểm $I$ nên khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì $PQ$ luôn đi qua điểm $I$ cố định.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(0,5 điểm) Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm).

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là $x{\rm{\;(m)}}$ $\left( {x > 0} \right).$

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là $x{\rm{\;(m)}}.$

Gọi $a{\rm{\;(m)}}$ là chiều dài của hầm biogas $\left( {a > 0} \right).$

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích $27\;\;{{\rm{m}}^3}$ nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra $a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của hầm biogas là: ${S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: ${S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: ${S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của $x$ để biểu thức ${S_{tp}}$ có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: ${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}$ ta được:

${S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2{x^2} = \frac{{54}}{x},$ hay $x = 3$ (thỏa mãn). Khi đó $a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng $3{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Câu 2