Câu hỏi:

12/03/2025 506

(0,5 điểm) Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\) để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao bằng chiều rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của đáy hầm biogas có dạng hình hộp chữ nhật là \(x{\rm{\;(m)}}\) \(\left( {x > 0} \right).\)

Khi đó, chiều cao của hầm biogas cũng là \(x{\rm{\;(m)}}.\)

Gọi \(a{\rm{\;(m)}}\) là chiều dài của hầm biogas \(\left( {a > 0} \right).\)

Ta có thể tích của hầm biogas đó là: \[V = a \cdot x \cdot x = a{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Mà theo bài, hầm biogas có thể tích \(27\;\;{{\rm{m}}^3}\)  nên ta có \[a{x^2} = 27,\] suy ra \(a = \frac{{27}}{{{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy của hầm biogas là: \({S_d} = x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hầm biogas là: \({S_{xq}} = 2\left( {x + \frac{{27}}{{{x^2}}}} \right) \cdot x = 2{x^2} + \frac{{54}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích toàn phần của hầm biogas là: \({S_{tp}} = 2{S_d} + {S_{xq}} = 2 \cdot \frac{{27}}{x} + 2{x^2} + \frac{{54}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất thì ta cần tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \({S_{tp}}\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \(2{x^2},\,\,\frac{{54}}{x},\,\,\frac{{54}}{x}\) ta được:

\({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{54}}{x} + \frac{{54}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{54}}{x} \cdot \frac{{54}}{x}}} = 3 \cdot 18 = 54.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(2{x^2} = \frac{{54}}{x},\) hay \(x = 3\) (thỏa mãn). Khi đó \(a = \frac{{27}}{{{3^2}}} = 3{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy để thi công tiết kiệm nguyên liệu nhất (không tính đến bề dày của thành hầm) thì hầm biogas có đáy là hình vuông với cạnh bằng \(3{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

1) Chứng minh bốn điểm \(M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q\) cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án » 12/03/2025 280

Câu 2:

1) Hai người thợ quét sơn một tòa nhà. Nếu họ cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc. Tuy nhiên thực tế hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Xem đáp án » 11/03/2025 165

Câu 3:

1) Tính \(A\) khi \(x = 25.\)

Xem đáp án » 12/03/2025 157

Câu 4:

1) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

Xem đáp án » 11/03/2025 149

Câu 5:

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\)

Xem đáp án » 12/03/2025 0

Câu 6:

3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A \cdot B.\)

Xem đáp án » 11/03/2025 0
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua