Câu 4 - 5 (2,0 điểm)

1) Hai người thợ quét sơn một tòa nhà. Nếu họ cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc. Tuy nhiên thực tế hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số ngày mà người thứ nhất, người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Trong một ngày, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc), người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Hai người cùng làm trong 12 ngày thì xong công việc nên trong một ngày, cả hai người làm được \(\frac{1}{{12}}\) công việc. Khi đó, ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hai người cùng nhau làm trong 4 ngày thì được \(4 \cdot \frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\) (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 14 ngày được \(14 \cdot \frac{1}{y} = \frac{{14}}{y}\) (công việc).

Theo bài, hai người làm cùng nhau trong 4 ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong 14 ngày nữa mới xong nên ta có phương trình: \(\frac{1}{3} + \frac{{14}}{y} = 1\) hay \(\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}.\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{14}}{y} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2) suy ra \(y = \frac{{14 \cdot 3}}{2} = 21\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 21\) vào phương trình (1), ta được:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{21}} = \frac{1}{{12}},\) suy ra \(\frac{1}{x} = \frac{1}{{28}}\) nên \(x = 28\) (thỏa mãn).