Câu 8-10 (3,5 điểm) Cho $\left( {O;\,\,R} \right),$ đường thẳng $d$ cố định nằm ngoài $\left( O \right).$ Từ điểm $M$ tùy ý thuộc đường thẳng $d,$ kẻ tiếp tuyến $MP,\,\,MQ$ tới $\left( O \right).$ Đường thẳng vuông góc với $OQ$ tại $O$ cắt $MP$ tại $N.$

1) Chứng minh bốn điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử TS vào 10 (Lần 1 - Tháng 3) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Phòng GD&ĐT Quận Đống Đa_TP. Hà Nội !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$1) Chứng minh bốn điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)$

Vì $MP,\,\,MQ$ lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $P,\,\,Q$ nên $OP \bot MP,\,\,OQ \bot MQ.$

Do \[\Delta OMP\] vuông tại $P$ nên ba điểm $O,\,\,M,\,\,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Do $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ nên ba điểm $O,\,\,M,\,\,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Do đó 4 điểm $M,\,\,P,\,\,O,\,\,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OM.$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Kẻ $OH \bot d$ tại $H,$ dây $PQ$ cắt $OH,\,\,OM$ lần lượt tại $I$ và $K.$ Chứng minh $ON = MN$ và $IO \cdot OH = OK \cdot OM.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Vì $MP,\,\,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MO$ là tia phân giác của $\widehat {PMQ}.$ Suy ra $\widehat {PMO} = \widehat {OMQ}.$

Xét $\Delta OMQ$ vuông tại $Q$ ta có $\widehat {OMQ} + \widehat {MOQ} = 90^\circ $ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Mà \[\widehat {NOM} + \widehat {MOQ} = \widehat {NOQ} = 90^\circ \] (do $ON \bot OQ)$ nên $\widehat {NOM} = \widehat {OMQ} = \widehat {PMO}.$

Xét $\Delta NOM$ có $\widehat {NOM} = \widehat {NMO}$ nên $\Delta NOM$ cân tại $N,$ suy ra $ON = OM.$

⦁ Vì $MP,\,\,MQ$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$ nên $MP = MQ,$ suy ra điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Vì $OP = OQ$ nên điểm $O$ cũng nằm trên đường trung trực của $PQ.$

Do đó $OM$ là đường trung trực của $PQ$ nên $OM \bot PQ$ tại $K.$

Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OMH$ có: $\widehat {OKI} = \widehat {OHM} = 90^\circ $ và $\widehat {HOM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}$ nên $IO \cdot OH = OK \cdot OM.$

Câu 3:

3) Chứng minh $PQ$ luôn đi qua điểm cố định khi $M$ di động trên $d.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Xét $\Delta OPK$ và $\Delta OMP$ có: $\widehat {OKP} = \widehat {OPM} = 90^\circ $ và $\widehat {POM}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OP}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OP}}$ nên $O{P^2} = OK \cdot OM.$

Mà $IO \cdot OH = OK \cdot OM$ (câu 2) nên $O{P^2} = IO \cdot OH.$ Suy ra $OI = \frac{{O{P^2}}}{{OH}} = \frac{{{R^2}}}{{OH}}.$

Vì đường tròn $\left( O \right)$ và đường thẳng $d$ cố định nên $OH$ cố định. Như vậy, điểm $I$ nằm trên $OH$ cố định với $OI = \frac{{{R^2}}}{{OH}}$ không đổi là một điểm cố định.

Mà $PQ$ đi qua điểm $I$ nên khi điểm $M$ di động trên đường thẳng $d$ thì $PQ$ luôn đi qua điểm $I$ cố định.