Câu 11-13:( 1 điểm)

2) Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\) và \(B\) lần lượt kẻ hai tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với nửa đường tròn. Qua điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn \((M\) khác \(A\) và \(B)\) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) lần lượt tại \(C\) và \(D\).

b) Chứng minh \(AC \cdot BD = {R^2}.\)

⦁ Vì \(CM\) và \(CA\) lần lượt là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) và \(A\) nên \(CA = CM\) và \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\) nên \(\widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}.\)

Tương tự \(\widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\) và \(DM = DB.\)

Suy ra \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

 \( = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {BOM}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta OCM\) và \(\Delta DOM\) có: \(\widehat {OMC} = \widehat {DMO} = 90^\circ \) và \(\widehat {OCM} = \widehat {DOM}\) (cùng phụ với \(\widehat {COM}).\)

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{OM}}{{DM}} = \frac{{CM}}{{OM}}\) nên \(O{M^2} = CM \cdot DM.\)

Do đó \(AC \cdot DB = CM \cdot DM = O{M^2} = {R^2}.\)