Câu hỏi:
12/03/2025 344
Câu 24-25: (1,0 điểm) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right),\,\,m\) là tham số.
1) Giải phương trình \[\left( 1 \right)\] khi \(m = - 1\).
Câu 24-25: (1,0 điểm) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right),\,\,m\) là tham số.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Khi \(m = - 1,\) ta có phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0.\)
Phương trình trên có \(a = 1,\,\,b = 3,\,\,c = - 4\) nên \(a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0.\)
Khi đó, phương trình này có hai nghiệm là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - 4.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 1;\,\,{x_2} = - 4.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(3{x_1} = x_2^2 + 2\).
Lời giải của GV VietJack
Xét phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
⦁ Phương trình (1) có
\[\Delta = {\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} - 8m + 16 = {\left( {m - 4} \right)^2} \ge 0\] với mọi \(m.\)
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta > 0,\) tức là \[{\left( {m - 4} \right)^2} > 0,\] suy ra \[{\left( {m - 4} \right)^2} \ne 0\] nên \(m - 4 \ne 0\) hay \(m \ne 4.\)
Với \(m \ne 4,\) phương trình \[\left( 1 \right)\] có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn định lí Viète:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
⦁ Cách 1. Từ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} - 1 = m - 3\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} - 1 = {x_1}{x_2}\)
\(\left( {{x_1} - {x_1}{x_2}} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0\)
\[{x_1}\left( {{x_2} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) = 0\]
\(\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right) = 0\)
\({x_2} - 1 = 0\) hoặc \({x_1} - 1 = 0\)
\({x_2} = 1\) hoặc \({x_1} = 1.\)
Trường hợp 1. Nếu \({x_2} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = m - 2\\{x_1} \cdot 1 = m - 3\end{array} \right.\) suy ra \({x_1} = m - 3.\)
Theo bài, ta có: \(3{x_1} = x_2^2 + 2\)
\(3\left( {m - 3} \right) = {1^2} + 2\)
\(m - 3 = 1\)
\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)
Trường hợp 2. Nếu \({x_1} = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {x_2} = m - 2\\1 \cdot {x_2} = m - 3\end{array} \right.\) suy ra \({x_2} = m - 3.\)
Theo bài, ta có: \(3{x_1} = x_2^2 + 2\)
\(3 \cdot 1 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 2\)
\({\left( {m - 3} \right)^2} = 1\)
\(m - 3 = 1\) hoặc \(m - 3 = - 1\)
\(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4)\) hoặc \(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 4).\)
Vậy \(m = 2.\)
Cách 2. Do \({x_2}\) là một nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \(x_2^2 - \left( {m - 2} \right){x_2} + m - 3,\) suy ra \(x_2^2 = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3.\)
Theo bài, \(3{x_1} = x_2^2 + 2\) nên ta có \(3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 3 + 2\) hay \(3{x_1} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5.\,\,\,\,\left( * \right)\)
Từ (2), ta có \({x_1} = m - 2 - {x_2},\) thay vào (*), ta được:
\[3\left( {m - 2 - {x_2}} \right) = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5\]
\[3m - 6 - 3{x_2} = \left( {m - 2} \right){x_2} - m + 5\]
\[\left( {m + 1} \right){x_2} = 4m - 11\,\,\,\left( {**} \right)\]
Nếu \(m = - 1,\) phương trình \(\left( {**} \right)\) trở thành \(0{x_2} = - 15\) (phương trình này vô nghiệm).
Như vậy, \(m = - 1\) không thỏa mãn.
Nếu \(m \ne - 1,\) thì phương trình \(\left( {**} \right)\) có nghiệm \[{x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}.\]
Khi đó, \[{x_1} = m - 2 - \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} + m - 2m - 2 - 4m + 11}}{{m + 1}} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}.\]
Thay \[{x_1} = \frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}}\] và \[{x_2} = \frac{{4m - 11}}{{m + 1}}\] vào \(\left( 3 \right),\) ta được:
\[\frac{{{m^2} - 5m + 9}}{{m + 1}} \cdot \frac{{4m - 11}}{{m + 1}} = m - 3\]
\[\left( {{m^2} - 5m + 9} \right)\left( {4m - 11} \right) = \left( {m - 3} \right){\left( {m + 1} \right)^2}\]
\(4{m^3} - 11{m^2} - 20{m^2} + 55m + 36m - 99 = \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)\)
\(4{m^3} - 31{m^2} + 91m - 99 = {m^3} + 2{m^2} + m - 3{m^2} - 6m - 3\)
\(3{m^3} - 30{m^2} + 96m - 96 = 0\)
\(\left( {3{m^3} - 6{m^2}} \right) - \left( {24{m^2} - 48m} \right) + \left( {48m - 96} \right) = 0\)
\(3{m^2}\left( {m - 2} \right) - 24m\left( {m - 2} \right) + 48\left( {m - 2} \right) = 0\)
\(\left( {m - 2} \right)\left( {3{m^2} - 24m + 48} \right) = 0\)
\(\left( {m - 2} \right) \cdot 3\left( {{m^2} - 8m + 16} \right) = 0\)
\(3\left( {m - 2} \right){\left( {m - 4} \right)^2} = 0\)
\(m - 2 = 0\) hoặc \({\left( {m - 4} \right)^2} = 0\)
\(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne - 1,\,\,m \ne 4)\) hoặc \(m = 4\) (không thỏa mãn \(m \ne 4).\)
Vậy \(m = 2.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Để đồ thị của hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) thì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hàm số đó.
Thay \(x = - 1,\,\,y = 2\) vào hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^2},\) ta được:
\(2 = \left( {m - 1} \right) \cdot {\left( { - 1} \right)^2}\) hay \(m - 1 = 2,\) nên \(m = 3\) (thỏa mãn).
Vậy \(m = 3.\)
![Cho tam giác đều \[MNP\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/12-1741763486.png)
Lời giải
![Cho tam giác đều \[MNP\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) như hình vẽ. Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/03/13-1741763442.png)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các cung \(MN,\,\,NP,\,\,PM\) chia đường tròn \(\left( O \right)\) thành ba cung có số đo bằng nhau, suy ra mỗi cung có số đo bằng \[\frac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ .\]
Phép quay ngược chiều \(240^\circ \) tâm \[O\] biến các điểm \(N,\,\,M,\,\,P\) thành các điểm \(M,\,\,P,\,\,N.\)Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Phú Thọ
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi thử TS vào 10 (Lần 2 - Tháng 2) năm học 2025 - 2026_Môn Toán_THCS Hoằng Thanh_Tỉnh Thanh Hóa