(0,5 điểm) Để chủ động nguồn nước ngọt cho sinh hoạt vào mùa hạn mặn, bác Minh thuê thợ xây một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có nắp đậy với dung tích \(9\;{{\rm{m}}^3}\) và có đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với kích thước như thế nào? Biết giá thuê thợ để xây bể là 550 000 đồng \(/{{\rm{m}}^2}\).

Gọi \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng của đáy bể hình hộp chữ nhật \[\left( {x > 0} \right).\]

Khi đó, chiều dài của đáy bể hình hộp chữ nhật là \(2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đáy bể hình hộp chữ nhật là: \[x \cdot 2x = 2{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\]

Chiều cao của bể nước hình hộp chữ nhật đó là: \(\frac{9}{{2{x^2}}}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của bể nước hình hộp chữ nhật là: \(2\left( {x + 2x} \right) \cdot \frac{9}{{2{x^2}}} = \frac{{54x}}{{2{x^2}}} = \frac{{27}}{x}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích mặt đáy và nắp đậy của bể nước hình hộp chữ nhật là: \(2 \cdot 2{x^2} = 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích cần xây (diện tích toàn phần của bể nước) là: \(S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Như vậy, yêu cầu bài toán đưa về việc tìm giá trị nhỏ nhất của \(S.\)

Ta có: \(S = \frac{{27}}{x} + 4{x^2} = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2}.\)

Do \(x > 0\) nên \(\frac{{27}}{{2x}} > 0\) và \(4{x^2} > 0,\) áp dụng định lí Cauchy cho ba số dương ta được:

\(S = \frac{{27}}{{2x}} + \frac{{27}}{{2x}} + 4{x^2} \ge \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{2x}} \cdot \frac{{27}}{{2x}} \cdot 4{x^2}}} = 9.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{27}}{{2x}} = \frac{{27}}{{2x}} = 4{x^2},\) tức là \(8{x^3} = 27\) hay \(x = \frac{3}{2} = 1,5\) (thỏa mãn).

Do đó, diện tích xây bể nhỏ nhất là \(27{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) khi \[x = 1,5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Chi phí thấp nhất để xây bể lúc này là: \(27 \cdot 550\,\,000 = 14\,\,850\,\,000\) (đồng).

Vậy bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với chiều rộng là \(1,5{\rm{\;m,}}\) chiều dài là \[2 \cdot 1,5 = 3{\rm{\;(m),}}\] chiều cao là \(\frac{9}{{2 \cdot 1,{5^2}}} = 2{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)