Câu 18-20: (2,5 điểm) Cho đường tròn \[\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\], một đường thẳng \(d\) cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d\) nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MC,{\rm{ }}MD\) tới đường tròn (\(C,\,\,D\) là tiếp điểm).

1) Chứng minh bốn điểm \(M,\,\,C,\,\,O,\,\,D\) cùng thuộc một đường tròn.

a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;\,\,2} \right)\) nên thay \(x = \sqrt 2 \), \(y = 2\) vào hàm số \(y = a{x^2},\) ta được \(2 = a{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\) . Suy ra \(a = 1\).

Vậy \(a = 1\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right)\).

b) Ta có \[\Delta \, = \,{\left[ { - \left( {2m\, + \,1} \right)} \right]^2}\, - \,4 \cdot 1\, \cdot \,m\]

\[ = \,\left( {4{m^2}\, + \,4m\, + \,1} \right)\, - \,4m\]\[ = \,\,4{m^2}\, + \,1 > 0\] với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1}\, + \,{x_2}\, = \,2m\, + \,1\\{x_1}{x_2}\, = \,m\end{array} \right.\].

Khi đó: \[\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 19\] hay \({x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 19\)

Suy ra \(m - \left( {2m + 1} \right) + 1 \ge 19\) hay \(m \le - 19\)

Vậy \(m \le - 19\) thoả mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

– Thay \(x = - 1;\,\,y = 2\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \( - 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 2 \ne 2\) nên điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] không thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)

– Thay \(x = 2\,;\,\,y = - 1\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \( - 2 \cdot {2^2} = - 8 \ne - 1\) nên điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] không thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)

– Thay \(x = - 1\,;\,\,y = - 2\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \( - 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} = - 2\) nên điểm \[\left( { - 1\,;\,\,2} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)

– Thay \(x = - 2\,;\,\,y = - 1\) vào hàm số \(y = - 2{x^2}\), ta được \[ - 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} = - 8 \ne 2\] nên điểm \(\left( { - 2\,;\,\, - 1} \right).\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = - 2{x^2}.\)

Vậy chọn đáp án C.