Câu hỏi:

12/03/2025 286

**Câu 12-14: (1,5 điểm)** Cho tam giác nhọn $ABC$ hai đường cao $BE,\,\,CF$ cắt nhau tại $H.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC,\,\,I$ là trung điểm của $AH.$

1) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$1) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I.$ (ảnh 1)$

Xét $\Delta AEH$ vuông tại $E$ có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $AH$ nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEH$ là đường tròn tâm $I$ đường kính $AH.$

Tương tự, đường tròn ngoại tiếp $\Delta AFH$ vuông tại $F$ là đường tròn tâm $I$ đường kính $AH.$

Như vậy, đường tròn tâm $I$ đường kính $AH$ đi qua các điểm $A,\,\,E,\,\,H,\,\,F.$

Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm $I.$

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

2) Chứng minh $FM$ vuông góc với $FI.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có $IA = IF$ nên $\Delta IAF$ cân tại $I.$ Suy ra $\widehat {IAF} = \widehat {IFA}.$ (1)

Vì tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat {HAF} = \widehat {HEF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HF).$ (2)

Chứng minh tương tự câu 1, ta cũng có tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm $M$ đường kính $FC.$

Do đó \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BF).$ (3)

Ta có $MF = MC$ nên $\Delta MFC$ cân tại $M.$ Suy ra $\widehat {MCF} = \widehat {MFC}.$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat {IFA} = \widehat {MFC}.$

Lại có $\widehat {IFA} + \widehat {IFC} = 90^\circ $ suy ra $\widehat {MFC} + \widehat {IFC} = 90^\circ $ hay $\widehat {IFM} = 90^\circ $ nên $FM \bot FI.$

Câu 3:

3) Tiếp tuyến tại các điểm $B$ và $C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $N.$ Chứng minh rằng $AN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $EF.$

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

⦁ Do tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn nên $\widehat {BFE} + \widehat {BCE} = 180^\circ $ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).

Mà $\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ $ (hai góc kề bù) nên \[\widehat {AFE} = \widehat {BCE}.\]

Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có: $\widehat {BAC}$ là góc chung và $\widehat {AFE} = \widehat {ACB}.$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}}.$

Gọi $P$ là trung điểm của $EF.$ Khi đó, $EF = 2FP.$

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BC = 2CM.$

Do đó $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2FP}}{{2CM}} = \frac{{FP}}{{CM}}.$

Xét $\Delta AFP$ và $\Delta ACM$ có: $\widehat {AFP} = \widehat {ACM}$ và $\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{FP}}{{CM}}.$

Do đó (c.g.c). Suy ra $\widehat {FAP} = \widehat {CAM}$ (hai góc tương ứng). (9)

⦁ Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Vì $NB,\,\,NC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $NB = NC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra $N$ nằm trên đường trung trực của $BC.$

Lại có $OB = OC$ nên $O$ nằm trên đường trung trực của $BC.$

Do đó $ON$ là đường trung trực của $BC.$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên đường trung trực \[ON\] của $BC$ đi qua $M$ hay $ON \bot BC$ tại $M.$

Xét $\Delta ABC$ có hai đường cao $BE,\,\,CF$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm của tam giác, suy ra $AH \bot BC.$

Ta có $ON \bot BC$ và $AH \bot BC$ nên $ON\,{\rm{//}}\,AH.$ Suy ra $\widehat {HAN} = \widehat {ONA}$ (hai góc so le trong). (5)

Xét $\Delta OBM$ và $\Delta ONB$ có: $\widehat {OMB} = \widehat {OBN} = 90^\circ $ và $\widehat {BON}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OM}}{{OB}}$ hay $O{B^2} = OM \cdot ON.$

Mà $OB = OA$ nên $O{A^2} = OM \cdot ON,$ suy ra $\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OA}}.$

Xét $\Delta ONA$ và $\Delta OAM$ có: $\widehat {AON}$ là góc chung và $\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OA}}.$

Do đó (g.g). Suy ra $\widehat {ONA} = \widehat {OAM}$ (hai góc tương ứng). (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\widehat {HAN} = \widehat {OAM}.$ (7)

Xét $\Delta OAC$ cân tại $O$ (do $OA = OC)$ nên $\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2}.$

Lại có $\widehat {ABC},\,\,\widehat {AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung $AC$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên $\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}$ hay $\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC}.$

Do đó $\widehat {OAC} = \frac{{180^\circ - 2\widehat {ABC}}}{2} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {FBC}.$

Mà $\widehat {FBC} + \widehat {FCB} = 90^\circ $ (tổng hai góc nhọn của $\Delta FBC$ vuông tại $F)$ nên $\widehat {FCB} = 90^\circ - \widehat {FBC}.$

Suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {FCB}.$

Mặt khác, $\widehat {HAF} = \widehat {HEF}$ và \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (chứng minh câu 2) nên $\widehat {HAF} = \widehat {OAC}.$ (8)

Từ (7) và (8) suy ra $\widehat {HAN} + \widehat {HAF} = \widehat {OAM} + \widehat {OAC}$ hay $\widehat {FAN} = \widehat {CAM}.$ (10)

⦁ Từ (9) và (10) suy ra $\widehat {FAP} = \widehat {FAN}$ hay ba điểm $A,\,\,P,\,\,N$ thẳng hàng.

Vậy đường thẳng $AN$ đi qua trung điểm $P$ của $EF.$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »