Câu hỏi:
12/03/2025 168
Câu 12-14: (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\,\,I\) là trung điểm của \(AH.\)
1) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\)
Câu 12-14: (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\,\,I\) là trung điểm của \(AH.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(AH\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEH\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AH.\)
Tương tự, đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AH.\)
Như vậy, đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AH\) đi qua các điểm \(A,\,\,E,\,\,H,\,\,F.\)
Vậy tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh \(FM\) vuông góc với \(FI.\)
Lời giải của GV VietJack
Ta có \(IA = IF\) nên \(\Delta IAF\) cân tại \(I.\) Suy ra \(\widehat {IAF} = \widehat {IFA}.\) (1)
Vì tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HEF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF).\) (2)
Chứng minh tương tự câu 1, ta cũng có tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \(M\) đường kính \(FC.\)
Do đó \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF).\) (3)
Ta có \(MF = MC\) nên \(\Delta MFC\) cân tại \(M.\) Suy ra \(\widehat {MCF} = \widehat {MFC}.\) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {MFC}.\)
Lại có \(\widehat {IFA} + \widehat {IFC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {MFC} + \widehat {IFC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IFM} = 90^\circ \) nên \(FM \bot FI.\)
Câu 3:
3) Tiếp tuyến tại các điểm \(B\) và \(C\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(N.\) Chứng minh rằng \(AN\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(EF.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Do tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {BFE} + \widehat {BCE} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).
Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \[\widehat {AFE} = \widehat {BCE}.\]
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {BAC}\) là góc chung và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}.\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}}.\)
Gọi \(P\) là trung điểm của \(EF.\) Khi đó, \(EF = 2FP.\)
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2CM.\)
Do đó \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2FP}}{{2CM}} = \frac{{FP}}{{CM}}.\)
Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ACM\) có: \(\widehat {AFP} = \widehat {ACM}\) và \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{FP}}{{CM}}.\)
Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {FAP} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng). (9)
⦁ Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Vì \(NB,\,\,NC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(NB = NC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra \(N\) nằm trên đường trung trực của \(BC.\)
Lại có \(OB = OC\) nên \(O\) nằm trên đường trung trực của \(BC.\)
Do đó \(ON\) là đường trung trực của \(BC.\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên đường trung trực \[ON\] của \(BC\) đi qua \(M\) hay \(ON \bot BC\) tại \(M.\)
Xét \(\Delta ABC\) có hai đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, suy ra \(AH \bot BC.\)
Ta có \(ON \bot BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(ON\,{\rm{//}}\,AH.\) Suy ra \(\widehat {HAN} = \widehat {ONA}\) (hai góc so le trong). (5)
Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta ONB\) có: \(\widehat {OMB} = \widehat {OBN} = 90^\circ \) và \(\widehat {BON}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OM}}{{OB}}\) hay \(O{B^2} = OM \cdot ON.\)
Mà \(OB = OA\) nên \(O{A^2} = OM \cdot ON,\) suy ra \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OA}}.\)
Xét \(\Delta ONA\) và \(\Delta OAM\) có: \(\widehat {AON}\) là góc chung và \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OA}}.\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\widehat {ONA} = \widehat {OAM}\) (hai góc tương ứng). (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {HAN} = \widehat {OAM}.\) (7)
Xét \(\Delta OAC\) cân tại \(O\) (do \(OA = OC)\) nên \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2}.\)
Lại có \(\widehat {ABC},\,\,\widehat {AOC}\) lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\) hay \(\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC}.\)
Do đó \(\widehat {OAC} = \frac{{180^\circ - 2\widehat {ABC}}}{2} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {FBC}.\)
Mà \(\widehat {FBC} + \widehat {FCB} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta FBC\) vuông tại \(F)\) nên \(\widehat {FCB} = 90^\circ - \widehat {FBC}.\)
Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {FCB}.\)
Mặt khác, \(\widehat {HAF} = \widehat {HEF}\) và \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (chứng minh câu 2) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {OAC}.\) (8)
Từ (7) và (8) suy ra \(\widehat {HAN} + \widehat {HAF} = \widehat {OAM} + \widehat {OAC}\) hay \(\widehat {FAN} = \widehat {CAM}.\) (10)
⦁ Từ (9) và (10) suy ra \(\widehat {FAP} = \widehat {FAN}\) hay ba điểm \(A,\,\,P,\,\,N\) thẳng hàng.
Vậy đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm \(P\) của \(EF.\)
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
1) Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối số lỗi chính tả của học sinh.
Xem đáp án »
12/03/2025
236
Câu 3:
1) Một bể nước hình trụ có bán kính đáy \(R = 1,2\;\;{\rm{m}}\) (tính từ tâm bể đến mép ngoài), bề dày của thành bể là \(b = 0,05\;\;{\rm{m,}}\) chiều cao lòng bể là \(h = 1,6\;\;{\rm{m}}\) (Hình 1). Tính dung tích của bể nước (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Xem đáp án »
12/03/2025
178
Câu 4:
1) Giải phương trình: \(\left( {2x + 3} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0.\)
Xem đáp án »
12/03/2025
142
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận