Câu hỏi:
12/03/2025 349
Câu 12-14: (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\,\,I\) là trung điểm của \(AH.\)
1) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\)
Câu 12-14: (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\,\,I\) là trung điểm của \(AH.\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(E\) có \(I\) là trung điểm của cạnh huyền \(AH\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEH\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AH.\)
Tương tự, đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) là đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AH.\)
Như vậy, đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AH\) đi qua các điểm \(A,\,\,E,\,\,H,\,\,F.\)
Vậy tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\)
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
2) Chứng minh \(FM\) vuông góc với \(FI.\)
Lời giải của GV VietJack
Ta có \(IA = IF\) nên \(\Delta IAF\) cân tại \(I.\) Suy ra \(\widehat {IAF} = \widehat {IFA}.\) (1)
Vì tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HEF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF).\) (2)
Chứng minh tương tự câu 1, ta cũng có tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn tâm \(M\) đường kính \(FC.\)
Do đó \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF).\) (3)
Ta có \(MF = MC\) nên \(\Delta MFC\) cân tại \(M.\) Suy ra \(\widehat {MCF} = \widehat {MFC}.\) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {IFA} = \widehat {MFC}.\)
Lại có \(\widehat {IFA} + \widehat {IFC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {MFC} + \widehat {IFC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {IFM} = 90^\circ \) nên \(FM \bot FI.\)
Câu 3:
3) Tiếp tuyến tại các điểm \(B\) và \(C\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(N.\) Chứng minh rằng \(AN\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(EF.\)
Lời giải của GV VietJack
⦁ Do tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {BFE} + \widehat {BCE} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp).
Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \[\widehat {AFE} = \widehat {BCE}.\]
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {BAC}\) là góc chung và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}.\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}}.\)
Gọi \(P\) là trung điểm của \(EF.\) Khi đó, \(EF = 2FP.\)
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2CM.\)
Do đó \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{2FP}}{{2CM}} = \frac{{FP}}{{CM}}.\)
Xét \(\Delta AFP\) và \(\Delta ACM\) có: \(\widehat {AFP} = \widehat {ACM}\) và \(\frac{{AF}}{{AC}} = \frac{{FP}}{{CM}}.\)
Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {FAP} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng). (9)
⦁ Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Vì \(NB,\,\,NC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(NB = NC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), suy ra \(N\) nằm trên đường trung trực của \(BC.\)
Lại có \(OB = OC\) nên \(O\) nằm trên đường trung trực của \(BC.\)
Do đó \(ON\) là đường trung trực của \(BC.\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên đường trung trực \[ON\] của \(BC\) đi qua \(M\) hay \(ON \bot BC\) tại \(M.\)
Xét \(\Delta ABC\) có hai đường cao \(BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, suy ra \(AH \bot BC.\)
Ta có \(ON \bot BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(ON\,{\rm{//}}\,AH.\) Suy ra \(\widehat {HAN} = \widehat {ONA}\) (hai góc so le trong). (5)
Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta ONB\) có: \(\widehat {OMB} = \widehat {OBN} = 90^\circ \) và \(\widehat {BON}\) là góc chung
Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OB}}{{ON}} = \frac{{OM}}{{OB}}\) hay \(O{B^2} = OM \cdot ON.\)
Mà \(OB = OA\) nên \(O{A^2} = OM \cdot ON,\) suy ra \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OA}}.\)
Xét \(\Delta ONA\) và \(\Delta OAM\) có: \(\widehat {AON}\) là góc chung và \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OA}}.\)
Do đó (g.g). Suy ra \(\widehat {ONA} = \widehat {OAM}\) (hai góc tương ứng). (6)
Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {HAN} = \widehat {OAM}.\) (7)
Xét \(\Delta OAC\) cân tại \(O\) (do \(OA = OC)\) nên \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2}.\)
Lại có \(\widehat {ABC},\,\,\widehat {AOC}\) lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\) hay \(\widehat {AOC} = 2\widehat {ABC}.\)
Do đó \(\widehat {OAC} = \frac{{180^\circ - 2\widehat {ABC}}}{2} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {FBC}.\)
Mà \(\widehat {FBC} + \widehat {FCB} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta FBC\) vuông tại \(F)\) nên \(\widehat {FCB} = 90^\circ - \widehat {FBC}.\)
Suy ra \(\widehat {OAC} = \widehat {FCB}.\)
Mặt khác, \(\widehat {HAF} = \widehat {HEF}\) và \[\widehat {BEF} = \widehat {BCF}\] (chứng minh câu 2) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {OAC}.\) (8)
Từ (7) và (8) suy ra \(\widehat {HAN} + \widehat {HAF} = \widehat {OAM} + \widehat {OAC}\) hay \(\widehat {FAN} = \widehat {CAM}.\) (10)
⦁ Từ (9) và (10) suy ra \(\widehat {FAP} = \widehat {FAN}\) hay ba điểm \(A,\,\,P,\,\,N\) thẳng hàng.
Vậy đường thẳng \(AN\) đi qua trung điểm \(P\) của \(EF.\)
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Bảng tần số biểu diễn số lỗi chính tả của học sinh như sau:
|
Số lỗi chính tả |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Tần số |
4 |
10 |
7 |
5 |
8 |
6 |
Kích thước mẫu là: \(N = 40.\)
Vì tần số của giá trị 0 là 4 nên tần số tương đối của giá trị 0 là\(\frac{4}{{40}} \cdot 100\% = 10\% .\)
Vì tần số của giá trị 1 là 10 nên tần số tương đối của giá trị 1 là \(\frac{{10}}{{40}} \cdot 100\% = 25\% .\)
Tương tự, ta tính được tần số tương đối của các giá trị 2, 3, 4, 5 lần lượt là \(17,5\% ;\,\,12,5\% ;\,\,20\% ;\,\,15\% .\)
Ta thu được bảng tần số tương đối như sau:
|
Số lỗi chính tả |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Tần số tương đối |
\(10\% \) |
\(25\% \) |
\(17,5\% \) |
\(12,5\% \) |
\(20\% \) |
\(15\% \) |
Lời giải
\(A = \sqrt {16} + \sqrt[3]{{27}} = \sqrt {{4^2}} + \sqrt[3]{{{3^3}}} = 4 + 3 = 7.\)
\(B = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| = 3 + \sqrt 5 .\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
-
50 bài tập Một số yếu tố xác suất có lời giải
-
Đề thi tham khảo môn Toán vào 10 tỉnh Quảng Bình năm học 2025-2026
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_TP Hà Nội
-
54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải
-
Đề thi minh họa (Dự thảo) TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đồng Nai
-
Đề thi tham khảo TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Bình Phước