Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 67 đến 69

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1\), với \(m\) là tham số thực.

Với \(m = 0\), giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\) là:

Ta có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right) = 6\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right)} \right]\).

Xét phương trình \[y' = 0\] có \[\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 1} \right) = 1 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}.\]

Suy ra phương trình \[y' = 0\] luôn có hai nghiệm \[{x_1} < {x_2}\] với mọi \[m\].

Theo định lí Vi-et, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right..\)

Để hàm số đồng biến trên \[\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \] phương trình \[y' = 0\] có hai nghiệm \[{x_1} < {x_2} \le 2\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 2} \right) + \left( {{x_2} - 2} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 4\\m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {2m + 1} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1\].

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 1000;1000} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 999; - 998;...;1} \right\}.\)

Vậy có \(1001\) số nguyên \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1000;1000} \right).\) Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 1\) và đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]:

\(2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1 = 1\,\,\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left[ {2{x^2} - 3\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right)} \right] = 0\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\].

Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt , tức là phương trình \[\left( 2 \right)\] có hai nghiệm phân biệt khác \(0\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{\left( 2 \right)}} = {\left[ {3\left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4 \cdot 2 \cdot 6m\left( {m + 1} \right) > 0\\6m\left( {m + 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{3}{2} < m < \frac{1}{2}}\\\begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne - 1\end{array}\end{array}} \right.\].

Vậy \(m \in \left( { - \frac{3}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\backslash \left\{ { - 1;\,0} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.