Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 4.

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên

Ta có y' = 3x² – 6x; y' = 0 3x² – 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = 0.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \).

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 4).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Xét phương trình x³ – 3x² + 4 = 0 x = −1 hoặc x = 2.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (−1; 0) và (2; 0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (−1; 0), (2; 0), (0; 4) và (1; 2).

Vậy đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 4 được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, ta thấy đồ thị đó có tâm đối xứng là điểm I(1; 2).