Cho biểu thức $A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{50}^2}.$  Chứng minh rằng A < 1.

Đáp án đúng là: D

TXD: D = ℝ.

Ta có y’ = 3x² – 6x + 3(m + 1)

Yêu cầu bài toán ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ’ = –9m ≤ 0 ⇔ m ≥ 0.

Vậy m ≥ 0 thỏa yêu cầu bài toán.

Gọi x, y lần lượt là thời gian đội một, đội hai làm một mình xong công việc (x, y > 0).

Trong một ngày, đội 1 làm được $\frac{1}{x}$  công việc.

Trong một ngày, đội 2 làm được $\frac{1}{y}$  công việc.

Ta có hai đội cùng làm thì trong 18 ngày xong công việc.

Suy ra hai đội cùng làm trong 1 ngày thì được $\frac{1}{18}$  công việc.

Tức là,  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{18}$    (1)

Lại có đội một làm 6 ngày, sau đó đội hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc.

Suy ra $6.\frac{1}{x}+8.\frac{1}{y}=40\%$       (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{18}\\ 6.\frac{1}{x}+8.\frac{1}{y}=40\%=\frac{2}{5}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{45}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{30}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=45\left(n\right)\\ y=30\left(n\right)\end{array}\right.$

Vậy đội 1 làm một mình thì hết 45 ngày xong công việc; đội 2 làm một mình thì hết 30 ngày xong công việc.