Nghiệm của bất phương trình \[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\] là:
A. \[x < - 1\].
B. \[x < 1\].
C. \[x > 1\].
D. \[x > - 1\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\]
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\] \[\left( * \right)\]
Điều kiện\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\]. Quy đồng ta được
\(\frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} < \frac{{2{x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)
\[\frac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{4}{{\left( {x + 1} \right)}} < 0\] mà \[4 > 0\] nên \[x + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < - 1\]
Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \[x < - 1\].
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\]
\[\frac{{x + 4}}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} < \frac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\] \[\left( * \right)\]
Điều kiện\[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\]. Quy đồng ta được
\(\frac{{(x + 4)(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} + \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} < \frac{{2{x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)
\[\frac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\]
\[\frac{4}{{\left( {x + 1} \right)}} < 0\] mà \[4 > 0\] nên \[x + 1 < 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x < - 1\]
Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \[x < - 1\].
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
B. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
C. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
D. \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) < {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Lời giải
Chọn C
Xét hiệu:
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\]
(vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\];\[{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]; \[{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a\], \[b\], \[c\])
Nên \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Dấu xảy ra khi \[a = b = c\].
Xét hiệu:
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\]
(vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\];\[{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]; \[{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a\], \[b\], \[c\])
Nên \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Dấu xảy ra khi \[a = b = c\].
Câu 2
A. \({x^2} + {y^2} \ge 2\).
B. \({x^2} + {y^2} \le 2\).
C. \({x^2} + {y^2} \ge 2\).
D. \({x^2} + {y^2} > 2\).
Lời giải
Chọn A
Từ \[x + y \ge 2\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được:
\[{x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\] \[\left( 2 \right)\].
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được:\[2{x^2} + 2{y^2} \ge 4\].
Chia cả hai vế cho \(2\) ta được: \[{x^2} + {y^2} \ge 2\].
Dấu xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).
Từ \[x + y \ge 2\], bình phương hai vế (hai vế đều dương) được:
\[{x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4\] \[\left( 1 \right)\]
Từ \[{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] suy ra \[{x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\] \[\left( 2 \right)\].
Cộng từng vế \[\left( 1 \right)\] với \[\left( 2 \right)\] được:\[2{x^2} + 2{y^2} \ge 4\].
Chia cả hai vế cho \(2\) ta được: \[{x^2} + {y^2} \ge 2\].
Dấu xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\).
Câu 3
A. \(\left( 1 \right)\).
B. \(\left( 2 \right)\).
C. \(\left( 3 \right)\).
D. \(\left( 1 \right)\); \(\left( 2 \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[m < n\].
B. \[n \le m\].
C. \[m > n\].
D. \[m \ge n\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} < 4\).
B. \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 4\).
C. \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} \le 4\).
D. \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} > 4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[x > 4\].
B. \[ - 4 < x < 3\].
C. \[x < 3\].
D. \[x \ne - 4\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo