Nghiệm của các bất phương trình \[{x^2} + 2(x - 3) - 1 > x\left( {x + 5} \right) + 5\] và \[\frac{2}{3} - \frac{{3x - 6}}{2} > \frac{{1 + 3x}}{6}\] lần lượt là

Chọn C
Xét hiệu:
\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]
\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]
\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\]
(vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\];\[{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\]; \[{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a\], \[b\], \[c\])
Nên \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\].
Dấu xảy ra khi \[a = b = c\].

Chọn A
Theo đề bài ta có:
\(\left( 1 \right)\): \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\]\[ \Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 \ge 4\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\] (do \(x > 0,y > 0 \Rightarrow xy > 0\)).
\[ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] với mọi\[x\], \[y\]
Nên khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng
\(\left( 2 \right)\): \({x^2} + {y^3} \le 0\)
Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0\)
⇒ Khẳng định \(\left( 2 \right)\) sai.
Khẳng định \(\left( 1 \right)\) đúng ⇒ Khẳng định \(\left( 3 \right)\) sai.