Câu hỏi:
14/04/2025 18
Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C\).
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
67 bài tập Căn thức và các phép toán căn thức có lời giải !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\)
Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được: \(C \ge 2\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = 2.\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\)
Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được: \(C \ge 2\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = 2.\)
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\frac{5}{{2\sqrt 3 }}\) có kết quả là
Xem đáp án »
14/04/2025
26
Câu 2:
Tốc độ của một chiếc cano và độ dài đường sóng nước để lại sau đuôi của nó được cho bởi công thức \(v = 5\sqrt I \), trong đó \(I\) là độ dài đường nước sau đuôi cano (mét), \(v\) là vận tốc của cano (m/giây). Khi cano chạy với vận tốc \(54\,\,km/h\) thì đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc cano dài bao nhiêu mét?
Xem đáp án »
14/04/2025
24
Câu 3:
Biểu thức \(2{b^2}\sqrt {\frac{{{a^4}}}{{4{b^2}}}} \) với \(b > 0\) bằng:
Xem đáp án »
14/04/2025
23
Câu 4:
Kết quả thu gọn của biểu thức \[(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)\] là:
Xem đáp án »
14/04/2025
22
Câu 7:
Rút gọn biểu thức \[\frac{{\sqrt {63{y^3}} }}{{\sqrt {7y} }}\] với \[y\, > \,0\] được kết quả là
Xem đáp án »
14/04/2025
22
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận