Câu hỏi:

14/04/2025 77

Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Ta có \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right).\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;\;x \ne 1\)
Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{2}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) ta được: \(C \ge 2\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi \(\sqrt x = \frac{2}{{\sqrt x }} \Rightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \Leftrightarrow x = 2.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Căn bậc hai số học của 4 là:

Lời giải

Chọn B
Căn bậc hai số học của một số luôn phải là số dương, số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2. Vậy 2 là căn bậc 2 số học của 4

Lời giải

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \frac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\\frac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)\(\left( {\sqrt x - 3} \right) \in \)Ư\[\left( 3 \right)\] \(\left( 1 \right)\) và \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (2)\)
\((1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \{ 1;3\} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16{\mkern 1mu} \\x = 36{\mkern 1mu} \end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Nhận thấy \(x = 16;x = 36\) vẫn thỏa mãn \(\left( 2 \right)\)
Nên \(x = 16\) hoặc \(x = 36\) thì \(P\) nguyên dương.

Câu 3

Giá trị của biểu thức \(N = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } \) bằng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trục căn thức ở mẫu của \(\frac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\)được kết quả là

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Giá trị của biểu thức \[\sqrt {4{x^2}\left( {{y^2} + 6y + 9} \right)} \] tại \(x = 2;\,y = - \sqrt 7 \)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Rút gọn biểu thức \(\sqrt {0,36{{(a - 1)}^2}} \) với \(a < 1\) ta được kết quả là

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Kết quả của phép tính\(\sqrt {49{a^2}} + 3a\) với \(a \ge 0\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP