Câu hỏi:
15/04/2025 46
Để xác định khoảng cách từ một gốc cây \[A\] trên một hòn đảo nhỏ giữa biển đến vị trí con sao biển \[C\] trên bãi cát (như hình bên dưới), người ta chọn một điểm \[B\] trên bãi biển cách điểm \[C\] một khoảng \[1225\,\,{\rm{m}}\] và dùng giác kế ngắm xác định được \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\]. Tính khoảng cách \[AC\] (kết quả làm tròn đến đơn vị mét).
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề: 63 bài tập Tỉ số lượng giác và ứng dụng có lời giải !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).
\[\Delta ADB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].
Nhà sách vietjack
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\), có \(\widehat B = 34^\circ \). Khi đó:
Xem đáp án »
15/04/2025
126
Câu 2:
Một chiếc thang có chiều dài từ chân lên đến nấc thang cuối là \[5\,\,{\rm{m}}\] được đặt vào thân cây cau như hình vẽ dưới đây, người ta đo được khoảng cách từ chân thang đến gốc cây cau là \[2,5\,\,{\rm{m}}\]. Tính góc \[\alpha \] tạo bởi thang và thân cây cau (làm tròn kết quả đến độ).
Xem đáp án »
15/04/2025
120
Câu 3:
Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \]. Sau \[6\] phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[60^\circ \]. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.
Xem đáp án »
15/04/2025
112
Câu 4:
Tỉ số lượng giác của góc nào lớn hơn tỉ số lượng giác của góc \(45^\circ \)?
Xem đáp án »
15/04/2025
104
Câu 5:
Cho \(\alpha \)là góc nhọn bất kì có \(\tan \alpha = \frac{1}{7}\), khi đó \(\cot \alpha \)bằng:
Xem đáp án »
15/04/2025
87
Câu 6:
Để xác định chiều cao \[AH\] của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí \[B\] và \[C\] cách nhau \[475\,\,{\rm{m}}\] trên Mặt đất. Tại vị trí \[B\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[34^\circ \]; tại vị trí \[C\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \] (như hình vẽ dưới đây). Tính chiều cao của ngọn núi (đơn vị mét), biết rằng tầm mắt của người quan sát là \[{\rm{1,6}}\,\,{\rm{m}}\] và giả thiết ba điểm \[H\], \[B\], \[C\] thẳng hàng (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Xem đáp án »
15/04/2025
82
Câu 7:
Tính chiều cao của tháp canh trong hình bên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Xem đáp án »
15/04/2025
79
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề số 1)
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận