Câu hỏi:
15/04/2025 15
Để xác định khoảng cách từ một gốc cây \[A\] trên một hòn đảo nhỏ giữa biển đến vị trí con sao biển \[C\] trên bãi cát (như hình bên dưới), người ta chọn một điểm \[B\] trên bãi biển cách điểm \[C\] một khoảng \[1225\,\,{\rm{m}}\] và dùng giác kế ngắm xác định được \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\]. Tính khoảng cách \[AC\] (kết quả làm tròn đến đơn vị mét).
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
63 bài tập Tỉ số lượng giác và ứng dụng có lời giải !!
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn A
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).
\[\Delta ADB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].
Nhà sách VIETJACK:
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Để xác định chiều cao \[AH\] của một ngọn núi, người quan sát đứng từ hai vị trí \[B\] và \[C\] cách nhau \[475\,\,{\rm{m}}\] trên Mặt đất. Tại vị trí \[B\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[34^\circ \]; tại vị trí \[C\], người đó quan sát đỉnh núi với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \] (như hình vẽ dưới đây). Tính chiều cao của ngọn núi (đơn vị mét), biết rằng tầm mắt của người quan sát là \[{\rm{1,6}}\,\,{\rm{m}}\] và giả thiết ba điểm \[H\], \[B\], \[C\] thẳng hàng (kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Xem đáp án »
15/04/2025
24
Câu 2:
Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn. Khi quả cầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng. Kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng. Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm \[A\] của quả cầu cách \[B\] một khoảng \[AB = 60\]cm và cách vị trí cân bằng một khoảng \[AH = 20\]cm. Tính số đo góc \[\alpha \] tạo bởi sợi dây \[BA\] và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Xem đáp án »
15/04/2025
22
Câu 3:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 12\,cm;\widehat B = 40^\circ \). Tính \(AC;\widehat C\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Xem đáp án »
15/04/2025
21
Câu 4:
Một người đang ở trên tầng thượng của một tòa nhà quan sát con đường chạy thẳng đến chân tòa nhà. Anh ta nhìn thấy một người điều khiển chiếc xe máy đi về phía tòa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[30^\circ \]. Sau \[6\] phút, người quan sát vẫn nhìn thấy người điều khiển chiếc xe máy với phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc bằng \[60^\circ \]. Hỏi sau bao nhiêu phút nữa thì xe máy sẽ chạy đến chân tòa nhà? Cho biết vận tốc xe máy không đổi.
Xem đáp án »
15/04/2025
21
Câu 5:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có . Tính \(AC;\widehat B\) (làm tròn đến độ).
Xem đáp án »
15/04/2025
19
Câu 6:
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 7cm,AB = 5cm\). Tính \(BC;\widehat C\).
Xem đáp án »
15/04/2025
19
Câu 7:
Cho tam giác \(ABC\)vuông tại A có góc nhọn \(C\) bằng \(\alpha \) Khi đó \(\cos \alpha \) bằng
Xem đáp án »
15/04/2025
18
🔥 Đề thi HOT:
-
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
-
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
-
Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận