Để xác định khoảng cách từ một gốc cây \[A\] trên một hòn đảo nhỏ giữa biển đến vị trí con sao biển \[C\] trên bãi cát (như hình bên dưới), người ta chọn một điểm \[B\] trên bãi biển cách điểm \[C\] một khoảng \[1225\,\,{\rm{m}}\] và dùng giác kế ngắm xác định được \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\]. Tính khoảng cách \[AC\] (kết quả làm tròn đến đơn vị mét).

A. \[1841{\rm{ m}}\].

B. \[1783{\rm{ m}}\].

C. \[1652\,\,{\rm{m}}\].

D. \[1906{\rm{ m}}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 63 bài tập Tỉ số lượng giác và ứng dụng có lời giải !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A
+) Trước tiên ta chứng minh bài toán \[\left( * \right)\]:
Nếu \[\Delta ABC\] là tam giác nhọn thì \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\] với \[a = BC;\,\,b = AC;\,\,c = AB\].
Thật vậy! Xét tam giác nhọn \[ABC\], kẻ các đường cao \[BD,\,\,CE\] thì các đường cao này nằm trong tam giác (như hình vẽ dưới đây).

\[\Delta ADB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = AB.\,\sin \widehat {BAC} = c.\,\sin A\] \[\left( 1 \right)\]
\[\Delta CDB\] vuông tại \[D\], áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc nhọn trong tam giác vuông ta có:
\[BD = BC.\,\sin \widehat {ACB} = a.\,\sin C\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra \[c.\,\sin A = a.\,\sin C\]\[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{c}{{\sin C}}\]
Chứng minh tương tự, ta được \[b.\,\sin A = a.\,\sin B\] \[ \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\]
Do đó \[\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\].
Bài toán \[\left( * \right)\] được chứng minh.
+) Xét \[\Delta ABC\], có \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\].
vv (ảnh 3)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác, ta có:
\[\widehat {BAC} = {180^{\rm{o}}} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {{{75}^{\rm{o}}} + {{65}^{\rm{o}}}} \right) = {40^{\rm{o}}}\]
Vì \[\widehat {ABC} = {75^{\rm{o}}}\]; \[\widehat {ACB} = {65^{\rm{o}}}\] và \[\widehat {BAC} = {40^{\rm{o}}}\] nên \[\Delta ABC\] nhọn.
Áp dụng bài toán \[\left( * \right)\] đã chứng ở trên, ta được: \[\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\].
\[ \Rightarrow \frac{{1225}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 75^\circ }}\]\[ \Rightarrow AC = \frac{{1225.\sin 75^\circ }}{{\sin 40^\circ }} \approx 1841\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy khoảng cách \[AC\] là \[1841{\rm{ m}}\].