Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Trong không gian cho các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho \(OA = a\,\left( {a > 0} \right),\,OB = a\sqrt 2 ,\,OC = c\left( {c > 0} \right)\). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua AM và cắt mặt phẳng \(\left( {OCD} \right)\) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.
Gọi E là giao điểm của \(\left( P \right)\) với đường thẳng \(OC\), độ dài đoạn thẳng OE là:
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87
Trong không gian cho các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho \(OA = a\,\left( {a > 0} \right),\,OB = a\sqrt 2 ,\,OC = c\left( {c > 0} \right)\). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua AM và cắt mặt phẳng \(\left( {OCD} \right)\) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.
Câu hỏi trong đề: Đề thi ĐGNL ĐHQG Hồ Chí Minh (V-ACT) năm 2026-2027 (Đề 24) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1: Giả sửa I là giao điểm của OD và AB, F là giao điểm của mặt phẳng \(\left( P \right)\) với CD. Khi đó dễ thấy ba đường thẳng EF, AM và CI đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC.
Đặt \(\overrightarrow {OE} = k\overrightarrow {OC} \).
Từ giả thiết \(GA \bot GE\), ta có \(\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GE} = 0\).
Mặt khác \(\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GE} = \left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {OE} - \overrightarrow {OG} } \right)\)
\( = \left[ {\overrightarrow {OA} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right] \cdot \left[ {k\overrightarrow {OC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right]\)\( = - \frac{1}{3}{\overrightarrow {OA} ^2} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {OA} ^2} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {OB} ^2} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {OC} ^2} - \frac{1}{3}k{\overrightarrow {OC} ^2}\) (vì \(\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OC} \cdot \overrightarrow {OA} = 0\))
\( = - \frac{1}{3}{a^2} + \frac{1}{9}{a^2} + \frac{2}{9}{a^2} + \frac{1}{9}{c^2} - \frac{k}{3}{c^2}\) (vì \(OA = a,\,OB = a\sqrt 2 ,\,OC = c\)).
Vậy \(\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GE} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{9}{c^2} - \frac{k}{3}{c^2} = 0 \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}\). Vậy \(OE = \frac{c}{3}\).
Cách 2: Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ thì \(A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right),\,B\left( {0\,;\,a\sqrt 2 \,;\,0} \right),\,D\left( {a\,;\,a\sqrt 2 \,;\,0} \right),\,C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\), \(M\left( {0\,;\,\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\,\frac{c}{2}} \right)\). Ta lập được phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(c\sqrt 2 \left( {x - a} \right) - cy + 3a\sqrt 2 z = 0\).
Giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục Oz là \(E\left( {0\,;\,0\,;\,\frac{c}{3}} \right)\). Suy ra \(OE = \frac{c}{3}\). Chọn B.
Câu hỏi cùng đoạn
Câu 2:
Tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp \(C.AOBD\) bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
Giải bởi Vietjack
Vì \(\overrightarrow {OE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \), giao tuyến EF của \(\left( P \right)\) với \(\left( {OCD} \right)\) song song với OD nên \(\overrightarrow {DF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Ta có \(\frac{{{V_{C.AEF}}}}{{{V_{C.AOD}}}} = \frac{{CE}}{{CO}} \cdot \frac{{CF}}{{CD}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\), \(\frac{{{V_{C.MEF}}}}{{{V_{C.BOD}}}} = \frac{{CM}}{{CB}} \cdot \frac{{CE}}{{CO}} \cdot \frac{{CF}}{{CD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\).
Vậy \({V_{C.AEMF}} = \left( {\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} \right)\frac{1}{2}{V_{C.AOBD}} = \frac{1}{3}{V_{C.AOBD}}\), từ đó \(\frac{{{V_{C.AEMF}}}}{{{V_{AEMFDBO}}}} = \frac{1}{2}\). Chọn D.
Câu 3:
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
Giải bởi Vietjack
Cách 1: Tứ giác lồi AEMF có các đường chéo AM, EF vuông góc với nhau nên có diện tích \({S_{AEMF}} = \frac{1}{2}AM \cdot EF = \frac{1}{2}\sqrt {A{O^2} + O{J^2} + J{M^2}} \cdot \frac{2}{3}OD\) (J là trung điểm của OB)
\( = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{4}} \cdot \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\sqrt {6{a^2} + {c^2}} \).
Vậy khoảng cách điểm C đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
\(d\left( {C,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{3{V_{C.AEMF}}}}{{{S_{AEMF}}}} = \frac{{{a^2}c\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{6}a\sqrt {6{a^2} + {c^2}} }} = \frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {6{a^2} + {c^2}} }}\).
Cách 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(c\sqrt 2 \left( {x - a} \right) - cy + 3a\sqrt 2 z = 0\) là:
\(d\left( {C,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - ac\sqrt 2 + 3ac\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2{c^2} + {c^2} + 18{a^2}} }} = \frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\). Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Xét các biến cố:
\(M\): “Công ty \(X\) thuê công ty vệ tinh \(A\) tư vấn”;
\(N\): “Công ty \(X\) có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn”.
Ta có \(0,4 + 0,6 = 1\), do đó \(\overline M \) là biến cố: “Công ty \(X\) thuê công ty vệ tinh \(B\) tư vấn”.
Theo bài ra, ta có: \(P\left( M \right) = 0,4\); \[P\left( {\overline M } \right) = 0,6\]; \(P\left( {N|M} \right) = 0,05\); \(P\left( {N|\overline M } \right) = 0,03\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P\left( N \right) = P\left( M \right) \cdot P\left( {N|M} \right) + P\left( {\overline M } \right) \cdot P\left( {N|\overline M } \right) = 0,4 \cdot 0,05 + 0,6 \cdot 0,03 = 0,038\).
Vậy xác suất để \(X\) có phát sinh thêm chi phí khi sử dụng dịch vụ tư vấn là \(0,038\). Chọn A.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 4 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 3\sqrt 3 .\) Chọn D.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập