Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = 4a.\] Số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,A} \right]\] bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án: 51.

Cách 1:

Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B.\)

Ta xác định được \(SA = 4a,AB = 2a,AC = 2\sqrt 2 a,SC = 2\sqrt 6 a,SB = 2\sqrt 5 a.\)

Kẻ \(AM \bot SC\) tại \(M\). Xét tam giác vuông \(SAC\) có đường cao \(AM:\)

\(A{C^2} = SC \cdot CM \Leftrightarrow CM = \frac{{A{C^2}}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{SC}}{3}\);

\(AM = \frac{{SA \cdot AC}}{{SC}} = \frac{{4a \cdot 2a\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 6 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}a\).

Kẻ \(BN \bot SC\) tại \(N\). Xét tam giác vuông \(SBC\) có đường cao \(BN:\)

\(B{C^2} = SC \cdot CN \Leftrightarrow CN = \frac{{B{C^2}}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{SC}}{6};\,\,BN = \frac{{SB \cdot BC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\).

Ta có \(\frac{{MH}}{{BN}} = \frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SC - \frac{{SC}}{3}}}{{SC - \frac{{SC}}{6}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow MH = \frac{4}{5}BN = \frac{4}{5} \cdot \frac{{a\sqrt {30} }}{3} = \frac{{4a\sqrt {30} }}{{15}}\)(với .

Suy ra \(\left[ {B,SC,A} \right] = \widehat {AMH}\).

Xét tam giác \(SBN\) có: \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SN}} \Leftrightarrow SH = \frac{{SM \cdot SB}}{{SN}} = \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt 5 a = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}a\).

Ta có \(A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} - 2SA \cdot SH \cdot \cos \widehat {ASH} = S{A^2} + S{H^2} - 2 \cdot SA \cdot SH \cdot \frac{{SA}}{{SB}}\)

               \( = 16{a^2} + \frac{{64}}{5}{a^2} - 2 \cdot 4a \cdot \frac{{8\sqrt 5 }}{5}a \cdot \frac{{4a}}{{2\sqrt 5 a}} = \frac{{16}}{5}{a^2}\).

\( \Rightarrow AH = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}a\).

Khi đó, \(\cos \widehat {AMH} = \frac{{M{A^2} + M{H^2} - A{H^2}}}{{2MA.MH}} = \frac{{\frac{{16}}{3}{a^2} + \frac{{32}}{{15}}{a^2} - \frac{{16}}{5}{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \cdot a \cdot \frac{{4\sqrt {30} }}{{15}}a}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {AMH} \approx 51^\circ .\)

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên thỏa mãn: \(O \equiv A\left( {0\,;0\,;0} \right),\,\,B \in Ox,\,\,D \in Oy,\,\,S \in Oz\).

Không mất tính tổng quát, ta suy ra được \(B\left( {2\,;0\,;0} \right),\,\,D\left( {0\,;2\,;0} \right),\,\,S\left( {0\,;0\,;4} \right){\rm{, }}C\left( {2\,;2\,;0} \right)\).

Gọi \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)\). Khi đó:

\[\left. \begin{array}{l}{{\vec n}_1} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = 8\left( {1\,; - 1\,;0} \right)\\{{\vec n}_2} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] =  - 4\left( {2\,;0\,;1} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\].

Suy ra \(\left[ {B,SC,A} \right] \approx 51^\circ \).