Câu hỏi:
24/05/2025 12
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = 4a.\] Số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,A} \right]\] bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = 4a.\] Số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,A} \right]\] bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: 51.
Cách 1:
Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B.\)
Ta xác định được \(SA = 4a,AB = 2a,AC = 2\sqrt 2 a,SC = 2\sqrt 6 a,SB = 2\sqrt 5 a.\)
Kẻ \(AM \bot SC\) tại \(M\). Xét tam giác vuông \(SAC\) có đường cao \(AM:\)
\(A{C^2} = SC \cdot CM \Leftrightarrow CM = \frac{{A{C^2}}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{SC}}{3}\);
\(AM = \frac{{SA \cdot AC}}{{SC}} = \frac{{4a \cdot 2a\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 6 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}a\).
Kẻ \(BN \bot SC\) tại \(N\). Xét tam giác vuông \(SBC\) có đường cao \(BN:\)
\(B{C^2} = SC \cdot CN \Leftrightarrow CN = \frac{{B{C^2}}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{SC}}{6};\,\,BN = \frac{{SB \cdot BC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\).
Ta có \(\frac{{MH}}{{BN}} = \frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SC - \frac{{SC}}{3}}}{{SC - \frac{{SC}}{6}}} = \frac{4}{5} \Rightarrow MH = \frac{4}{5}BN = \frac{4}{5} \cdot \frac{{a\sqrt {30} }}{3} = \frac{{4a\sqrt {30} }}{{15}}\)(với .
Suy ra \(\left[ {B,SC,A} \right] = \widehat {AMH}\).
Xét tam giác \(SBN\) có: \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SN}} \Leftrightarrow SH = \frac{{SM \cdot SB}}{{SN}} = \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt 5 a = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}a\).
Ta có \(A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} - 2SA \cdot SH \cdot \cos \widehat {ASH} = S{A^2} + S{H^2} - 2 \cdot SA \cdot SH \cdot \frac{{SA}}{{SB}}\)
\( = 16{a^2} + \frac{{64}}{5}{a^2} - 2 \cdot 4a \cdot \frac{{8\sqrt 5 }}{5}a \cdot \frac{{4a}}{{2\sqrt 5 a}} = \frac{{16}}{5}{a^2}\).
\( \Rightarrow AH = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}a\).
Khi đó, \(\cos \widehat {AMH} = \frac{{M{A^2} + M{H^2} - A{H^2}}}{{2MA.MH}} = \frac{{\frac{{16}}{3}{a^2} + \frac{{32}}{{15}}{a^2} - \frac{{16}}{5}{a^2}}}{{2 \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \cdot a \cdot \frac{{4\sqrt {30} }}{{15}}a}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {AMH} \approx 51^\circ .\)
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ trên thỏa mãn: \(O \equiv A\left( {0\,;0\,;0} \right),\,\,B \in Ox,\,\,D \in Oy,\,\,S \in Oz\).
Không mất tính tổng quát, ta suy ra được \(B\left( {2\,;0\,;0} \right),\,\,D\left( {0\,;2\,;0} \right),\,\,S\left( {0\,;0\,;4} \right){\rm{, }}C\left( {2\,;2\,;0} \right)\).
Gọi \({\vec n_1},{\vec n_2}\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)\). Khi đó:
\[\left. \begin{array}{l}{{\vec n}_1} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = 8\left( {1\,; - 1\,;0} \right)\\{{\vec n}_2} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] = - 4\left( {2\,;0\,;1} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right)} \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\].
Suy ra \(\left[ {B,SC,A} \right] \approx 51^\circ \).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)
Đã bán 986
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bóng bầu dục quốc gia có kích thước \(28\,{\rm{cm}}\) từ đầu này đến đầu kia và đường kính \(17\,{\rm{cm}}\) ở phần dày nhất (quy định cho phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).
Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 4\); \(x = 24\), trong đó \(x\) tính bằng \({\rm{cm}}\). Thể tích (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu.
Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bóng bầu dục quốc gia có kích thước \(28\,{\rm{cm}}\) từ đầu này đến đầu kia và đường kính \(17\,{\rm{cm}}\) ở phần dày nhất (quy định cho phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).
Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 4\); \(x = 24\), trong đó \(x\) tính bằng \({\rm{cm}}\). Thể tích (đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\), kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu.
Xem đáp án »
24/05/2025
292
Câu 2:
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
Xem đáp án »
24/05/2025
101
Câu 5:
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
a) Quãng đường (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) xe Taxi đi được từ trạm thu phí đến khi nhập làn khoảng \[{\rm{187 m}}\].
Xem đáp án »
24/05/2025
37
Câu 6:
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại một ngày của học sinh lớp 12A thì được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian (phút)
\(\)\(\left[ {0\,;\,20} \right)\)
\(\left[ {20\,;\,40} \right)\)
\(\left[ {40\,;\,60} \right)\)
\(\left[ {60\,;\,80} \right)\)
\(\left[ {80\,;\,100} \right)\)
Số học sinh
2
5
7
19
9
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào dưới đây?
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại một ngày của học sinh lớp 12A thì được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
|
Thời gian (phút) |
\(\)\(\left[ {0\,;\,20} \right)\) |
\(\left[ {20\,;\,40} \right)\) |
\(\left[ {40\,;\,60} \right)\) |
\(\left[ {60\,;\,80} \right)\) |
\(\left[ {80\,;\,100} \right)\) |
|
Số học sinh |
2 |
5 |
7 |
19 |
9 |
Xem đáp án »
24/05/2025
29
Câu 7:
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 9x - 6}}{x}\) có phương trình là
Xem đáp án »
24/05/2025
12
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 5)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận