Cho phương trình x⁴ – 6x² + m = 0 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình x² + (m + 2)x – m – 4 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (m + 2)² – 4.1.(– m – 4) = m² + 4m + 4 + 4m + 16

   = m² + 8m + 20 = (m + 4)² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Trường hợp 1. x₂ = 0 thay vào phương trình đã cho ta được:                              

0² + (m + 2).0 – m – 4 = 0, suy ra m = –4.

Thay m = –4 vào phương trình đã cho ta được:

x² + (–4 + 2)x – (–4) – 4 = 0

x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Khi đó x₁ = 2, x₂ = 0 không thỏa mãn x₁ < 0 ≤ x₂.

Trường hợp 2. x₁ < 0 < x₂ thì x₁x₂ < 0 tức là \[\frac{{ - m - 4}}{1} < 0,\] suy ra m > –4.

Kết hợp hai trường hợp ta được m > –4.

Vậy ta chọn phương án A.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 3\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right..\]

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra 1 < x₁ + x₂ < 12

Do đó 1 < 2m – 3 < 12

Nên 4 < 2m < 15

Suy ra \(2 < m < \frac{{15}}{2}.\)

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra x₁ – 1 > 0 và x₂ – 1 > 0

Do đó (x₁ – 1)(x₂ – 1) > 0

x₁x₂ – x₁ – x₂ + 1 > 0

x₁x₂ – (x₁ + x₂) + 1 > 0

m² – 3m – (2m – 3) + 1 > 0

m² – 5m + 4 > 0

(m – 1)(m – 4) > 0

m – 1 < 0 hoặc m – 4 > 0 (do m – 4 < m – 1)

m < 1 hoặc m > 4.

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra x₁ – 6 < 0 và x₂ – 6 < 0

Do đó (x₁ – 6)(x₂ – 6) > 0

x₁x₂ – 6(x₁ – x₂) + 36 > 0

m² – 3m – 6(2m – 3) + 36 > 0

m² – 3m – 12m + 18 + 36 > 0

m² – 15m + 54 > 0

(m – 6)(m – 9) > 0

m – 6 < 0 hoặc m – 9 > 0 (do m – 9 < m – 6)

m < 6 hoặc m > 9.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: 4 < m < 6.

Vậy ta chọn phương án D.