Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x2 + 2(m – 1)x – m = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A = x 2 1 + x 2 2 − x 1 x 2 có giá trị nhỏ nhất?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Phương trình x2 + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:
∆' = (m – 1)2 – 1.(–m) = m2 – 2m + 1 + m
= m2 – m + 1 = \({\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right..\)
Khi đó,
\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)
= [–2(m – 1)]2 – 3.(–m)
= 4m2 – 8m + 4 + 3m
= 4m2 – 5m + 4
\[ = {\left( {2m} \right)^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{5}{4} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]
\[ = {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]
Với mọi m ta luôn có \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0,\] suy ra \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.\]
Do đó \(A \ge \frac{{39}}{{16}}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} = 0,\] hay \(2m - \frac{5}{4} = 0,\) nên \(m = \frac{5}{8}.\)
Vậy \(m = \frac{5}{8}\) thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{39}}{{16}}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập