Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E) kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD lần lượt tại E, F. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.

Diện tích tam giác ABC là S_∆ABC = \[\frac{1}{2}BC.AH\].

Vì BC là đường kính nên BC cố định.

Suy ra diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi AH lớn nhất.

Xét tam giác AHO vuông tại H, có AH ≤ AO (AO là cạnh huyền)

Suy ra S_∆ABC = \[\frac{1}{2}BC.AH\] ≤ \[\frac{1}{2}BC.AO = \frac{1}{2}2R.R = {R^2}\].

Dấu “=” xảy ra khi H ≡ O. Khi đó A là điểm chính giữa cung BC hay AD ⊥ BC.

Xét tam giác ACD có: \[\widehat {ACD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có CO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Do đó, ∆ACD vuông cân tại C nên \[\widehat {CAD} = \widehat {CDA} = 45^\circ \].

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi A nằm chính giữa cung BC và \[\widehat {CDA} = 45^\circ \].

Đáp án đúng là: D

Ta có: và

Mặt khác DE // BF nên \[\widehat {EDF} = \widehat {BFD}\] (hai góc so le trong).

Mà \[\widehat {EDF}\] là góc nội tiếp chắn cung ; \[\widehat {DFB}\] là góc nội tiếp chắn cung .

Do đó, .

Ta lại có .

Từ đó suy ra .

Ta có: \[\widehat {BDC} = \widehat {BFC}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

\[\widehat {DBF} = \widehat {DCF}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung DF)

Do đó, đáp án D sai.