Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó

a) Độ dài đường chéo của hình lập phương là 3a.

b) Hai mặt phẳng (ACC'A') và (BDD'C') vuông góc nhau.

c) Hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD) là A'C.

d) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C'] là \(\widehat {COC'}\).

Kẻ \(AM \bot BC\) tại \(M\) mà BC ^ SA nên BC ^ (SAM) Þ BC ^ SM.

Suy ra \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}} = 2a\) Þ \(AM = \frac{{BC}}{2} = a\).

Ta có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \).

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), kẻ  A'H ^ B'D' tại \(H\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B'D' \bot A'H}\\{B'D' \bot AA'\left( {{\rm{do }}AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)} \right)}\end{array} \Rightarrow B'D' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'D' \bot AH} \right.\).

Do đó \(\widehat {AHA'}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,B'D',A'} \right]\).

Tam giác A'B'D' vuông tại A' có đường cao A'H nên

\(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{{B'}^2}}} + \frac{1}{{A'{{D'}^2}}} \Rightarrow A'H = \frac{{A'B' \cdot A'D'}}{{\sqrt {A'{{B'}^2} + A'{{D'}^2}} }} = \frac{{357}}{{2\sqrt {730} }}{\rm{. }}\)

Tam giác \(AHA'\) vuông tại \(A'\) có:

\(\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{{8,2}}{{\frac{{357}}{{2\sqrt {730} }}}} \Rightarrow \widehat {AHA'} \approx 51,1^\circ \).

Trả lời: 51,1.