Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).

a) \(\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

b) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\).

Khi đó \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1\).

c) \(\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{4x}} + C\).

d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(G\left( 2 \right) = 1\) và \(G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0\). Ta tìm được \(G\left( { - 10} \right) = a\ln 10 + b\ln 5 + c\ln 2 + d\), với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỷ. Ta có \(a + b + c + d = - 19\).

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 4. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Đề số 1) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(C = 1\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( {2x} \right) = - \frac{1}{{4{x^2}}}\). Khi đó, \(\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x = - \int {\frac{1}{{4{x^2}}}} \,{\rm{d}}x = \frac{1}{{4x}} + C\).

Vì \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có:

\(G\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C = \left[ \begin{array}{l}2x + \ln x + {C_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 0\\2x + \ln \left( { - x} \right) + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

\(G\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 + \ln 2 + {C_1} = 1 \Rightarrow {C_1} = - 3 - \ln 2\).

\(G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 5 + \ln 5 - 3 - \ln 2 + 2 \cdot \left( { - 5} \right) + \ln 5 + {C_2} = 0 \Rightarrow {C_2} = 3 + \ln 2 - 2\ln 5\).

Do đó \(G\left( { - 10} \right) = 2 \cdot \left( { - 10} \right) + \ln 10 + 3 + \ln 2 - 2\ln 5 = \ln 10 - 2\ln 5 + \ln 2 - 17\).

Vậy \[a + b + c + d = 1 + \left( { - 2} \right) + 1 + \left( { - 17} \right) = - 17\].

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(4\,{\rm{cm}}\), các đường cong \(AOD\) và \(BOC\) là một phần của các parabol đỉnh \(O\). Với hệ trục tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm \(A\) có tung độ bằng \(1\). Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí \(1\) một triệu đồng/\(1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/\(1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

a) Parabol chứa đường cong \(AOD\) có phương trình là \(y = \frac{1}{{16}}{x^2}\).

b) Parabol chứa đường cong \(BOC\) có phương trình là \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\).

c) Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn \(5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

d) Chí sản xuất \(1\) chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn \(9\) triệu đồng.

Lời giải

Vì \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(4\,{\rm{cm}}\) và điểm \(A\) có tung độ bằng \(1\) nên điểm \(B\) có tung độ bằng \( - 3\). Ta có hình vẽ sau:

Gọi parabol chứa đường cong \(AOD\) có phương trình là \(y = a{x^2}\).

Vì parabol đi qua điểm\(A\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có: \(1 = a \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}\).

Gọi parabol chứa đường cong \(BOC\) có phương trình là \(y = a'{x^2}\).

Vì parabol đi qua điểm\(C\left( {2; - 3} \right)\) nên ta có: \( - 3 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a = - \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow y = - \frac{3}{4}{x^2}\).

Phần tô đậm \(AOB\) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = - 2\), \(x = 0\) nên có diện tích là \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left[ {\frac{1}{4}{x^2} - \left( { - \frac{3}{4}} \right){x^2}} \right]{\rm{d}}x} = \frac{8}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Phần tô đậm \(COD\) được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), \(y = - \frac{3}{4}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 2\) nên có diện tích là \({S_2} = \int\limits_0^2 {\left[ {\frac{1}{4}{x^2} - \left( { - \frac{3}{4}} \right){x^2}} \right]{\rm{d}}x} = \frac{8}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ là \[S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 5,5\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Diện tích hình vuông \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = {4^2} = 16\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Diện tích phần không tô đậm là \({S_k} = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).

Tổng chi phí để làm chiếc huy hiệu: \(T = 1\,000\,000 \cdot \frac{{16}}{3} + 300\,000 \cdot \frac{{32}}{3} + 500\,000 \approx 9\,033\,333\) (đồng).

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 2

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^3}}}\) là

A. \( - \frac{3}{{{x^4}}} + C\).

B. \( - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).

C. \( - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).

D. \( - \frac{1}{{4{x^4}}} + C\).

Lời giải

Ta có \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^{ - 3}}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\). Chọn C.

Câu 3