Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng \(3\) và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình vẽ). Gọi \(\left( H \right)\) là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của \(\left( H \right)\).

Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường là:

\[s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^8 {\frac{1}{2}t{\rm{d}}t + \int\limits_8^{16} {4{\rm{d}}t}  + } \int\limits_{16}^{24} {\left( { - \frac{1}{2}t + 12} \right){\rm{d}}t} \,\;\, = \left. {\left( {\frac{1}{4}{t^2}} \right)} \right|_0^8 + \left. {\left( {4t} \right)} \right|_8^{16} + \left. {\left( { - \frac{1}{4}{t^2} + 12t} \right)} \right|_{16}^{24} = 64\,\,{\rm{(dm)}}\].

Đáp án: \[64\].

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 0\;\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là \(S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,(m)} \).

Gọi hàm vận tốc thời gian \(7\) giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] có dạng là \[\left( d \right):{\rm{ }}y = at + b\].

Đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua 2 điểm \[\left( {8\,;21} \right)\] và \[\left( {15\,;0} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}8a + b = 21\\15a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 45\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left( d \right):y =  - 3t + 45\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[t\] giây \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là:

\(S = \int\limits_8^{15} {\left( { - 3t + 45} \right)\,{\rm{d}}t = 73,5\,\,{\rm{(m)}}} \).

Gọi hàm vận tốc thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\]có dạng là \(\left( P \right):y = a{t^2} + bt + c\).

Parabol \[\left( P \right)\] đi qua các điểm \[\left( {3\,;11} \right)\], \[\left( {5\,;3} \right)\] và \[\left( {8\,;21} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 11\\25a + 5b + c = 3\\64a + 8b + c = 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 20\\c = 53\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right):y = 2{t^2} - 20t + 53\).

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\(S = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} - 20t + 53} \right)\,{\rm{d}}t = \frac{{115}}{3}} \,\,{\rm{(m)}}\).

Vận tốc trung bình của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\[\frac{{115}}{3}:\left( {8 - 3} \right) = \frac{{23}}{3} > 7\;\].

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.