Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc \[{v_T}\,\left( t \right) = 5\sqrt t \] \[\left( {{\rm{km/h}}} \right)\], quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình \[{s_M}\left( t \right) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \,\left( {2\pi t} \right)\]\[\left( {{\rm{km}}} \right)\] (với \[t\] là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được \[10{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{km}}\] đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường là:

\[s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_0^8 {\frac{1}{2}t{\rm{d}}t + \int\limits_8^{16} {4{\rm{d}}t}  + } \int\limits_{16}^{24} {\left( { - \frac{1}{2}t + 12} \right){\rm{d}}t} \,\;\, = \left. {\left( {\frac{1}{4}{t^2}} \right)} \right|_0^8 + \left. {\left( {4t} \right)} \right|_8^{16} + \left. {\left( { - \frac{1}{4}{t^2} + 12t} \right)} \right|_{16}^{24} = 64\,\,{\rm{(dm)}}\].

Đáp án: \[64\].

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 0\;\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là \(S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,(m)} \).

Gọi hàm vận tốc thời gian \(7\) giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] có dạng là \[\left( d \right):{\rm{ }}y = at + b\].

Đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua 2 điểm \[\left( {8\,;21} \right)\] và \[\left( {15\,;0} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}8a + b = 21\\15a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 45\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \left( d \right):y =  - 3t + 45\].

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \[t\] giây \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là:

\(S = \int\limits_8^{15} {\left( { - 3t + 45} \right)\,{\rm{d}}t = 73,5\,\,{\rm{(m)}}} \).

Gọi hàm vận tốc thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\]có dạng là \(\left( P \right):y = a{t^2} + bt + c\).

Parabol \[\left( P \right)\] đi qua các điểm \[\left( {3\,;11} \right)\], \[\left( {5\,;3} \right)\] và \[\left( {8\,;21} \right)\] nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + c = 11\\25a + 5b + c = 3\\64a + 8b + c = 21\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 20\\c = 53\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right):y = 2{t^2} - 20t + 53\).

Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \(t\) giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\(S = \int\limits_3^8 {\left( {2{t^2} - 20t + 53} \right)\,{\rm{d}}t = \frac{{115}}{3}} \,\,{\rm{(m)}}\).

Vận tốc trung bình của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] là:

\[\frac{{115}}{3}:\left( {8 - 3} \right) = \frac{{23}}{3} > 7\;\].

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Đúng,      d) Sai.