Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(2a\). Biết \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 2 \). Số đo góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là
A. \(30^\circ \).
B. \(45^\circ \).
C. \(60^\circ \).
D. \(90^\circ \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta kẻ \(CH \bot AB,\,H \in \,AB\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\CH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)\).
Vậy \(SH\) là hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Khi đó \(\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,\,SH} \right) = \widehat {CSH}\).
Ta có \[CH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \], \(SH = \sqrt {S{A^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) ta có: \(\tan \widehat {CSH} = \frac{{CH}}{{SH}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {CSH} = 45^\circ \).
Vậy \(\left( {SC,\,\left( {SAB} \right)} \right) = 45^\circ \). Chọn B.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có \(SI\) vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(BC = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).
Vẽ \[IH \bot CB\] tại \[H\].
Do đó, \(IH\) là hình chiếu của \(SH\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên \[SH \bot CB\] (theo định lý ba đường vuông góc).
Khi đó, \[\widehat {SHI}\] là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,D} \right]\).
Ta có \[{S_{ICB}} = {S_{ABCD}} - {S_{IDC}} - {S_{AIB}}\]\[ = 3{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} - {a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\]\[ \Rightarrow IH \cdot CB = 3{a^2}\]\[ \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\].
Ta có \[\tan \widehat {SHI} = \frac{{SI}}{{IH}}\]\[ = \frac{{\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}}}{{\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}}} = 1\]\[ \Rightarrow \widehat {SHI} = 45^\circ \].
Đáp án: \[45\].
Lời giải
Do hình chóp \[S.ABC\] đều nên \(SG\) là đường cao của hình chóp (\(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\)). Kẻ \(MH \bot SA\) tại \(H\) thì \(MH\) là đoạn vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(MH\).
Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{7\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{7^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot SG = \frac{{343\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow SG = 28\).
Lại có \(SA = \sqrt {A{G^2} + S{G^2}} = \frac{{49\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có \(\Delta AHM\) đồng dạng với \(\Delta AGS\)\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{SA}} = \frac{{MH}}{{SG}} \Rightarrow MH = \frac{{SG \cdot AM}}{{SA}} = \frac{{3 \cdot 28 \cdot 7\sqrt 3 }}{{2 \cdot 49\sqrt 3 }} = 6\).
Đáp án: \(6\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
C. \(\frac{{{a^3}}}{2}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo